Контроль по количественному признаку

Любой контролируемый параметр по своей природе является случайной величиной, по-скольку он может принять то или иное значение, причем заранее неизвестное.

Изучением случайных величин занимается теория вероятностей. Эта математическая наука позволяет получать вполне определенные количественные результаты и на их основе принимать достаточно обоснованные и в основном правильные решения. Все случайные величины подчиня-ются определенным закономерностям, называемым законами распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятнос-тями. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями, что пол-ностью определяется законом распределения. Законы распределения могут быть представлены в аналитической, табличной или графической формах. Законы распределения имеют большое прик-ладное значение в различных областях человеческой деятельности и, в частности, в области про-мышленного производства для решения задач, связанных с обеспечением качества продукции.

Случайные величины могут быть либо дискретными, либо непрерывными, которые описы-ваются различными законами распределения. Дискретными называются такие случайные величи-ны, которые можно заранее перечислить. Например, число дефектных единиц продукции или чис-ло дефектов. Непрерывными называются случайные величины, возможные значения которых не-прерывно заполняют некоторый промежуток. Примером непрерывной случайной величины явля-ется любая измеряемая величина, например, размер детали.

В теории вероятностей рассматривается достаточно большое количество разнообразных за-конов распределения. Для решения задач, связанных с построением контрольных диаграмм (конт-рольных карт), представляют интерес лишь некоторые из них. Важнейшим из них является нор-мальный закон распределения, который применяется для построения контрольных диаграмм (контрольных карт), используемых при контроле по количественному признаку, т.е. когда мы име-ем дело с непрерывной случайной величиной. Нормальный закон распределения занимает среди других законов распределения особое положение. Это объясняется тем, что, во-первых, наиболее часто встречается на практике, и, во-вторых, он является предельным законом, к которому при-ближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Что касается второго обстоятельства, то в теории вероятностей доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), при-ближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количес-тво случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных вели-чин, таких, например, как ошибки измерений, могут быть представлены как сумма весьма больше-го числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана дей-ствием отдельной причины, независящей от остальных.

В графической форме нормальный закон распределения изображается колоколообразной кривой (рис. 5).

Рисунок 5. Кривая нормального закона распределения

Этой кривой определяется функция плотности вероятности (ФПВ) – плотность вероятности f(х) значений случайной величины X.

Кривая нормального распределения характеризуется двумя параметрами: μ и σ, где μ – математическое ожидание случайной величины, а σ – среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Смысл этих параметров состоит в следующем. Значением μ определяется центр рас-сеивания – если изменять центр рассеивания, кривая распределения будет смещаться вдоль оси аб-сцисс, не изменяя своей формы (рис. 6). Таким образом, значением μ определяется положение кри-вой распределения на оси абсцисс. Размерность μ такая же, что и размерность случайной вели-чины X.

Рисунок 6. Вид кривых нормального закона распределения при изменении центра рассеивания

Значением σ определяется форма кривой распределения. Поскольку площадь под кривой распределения должна всегда оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая распределе-ния становится более плоской. На рис. 7 показаны три кривые при разных σ: σ₁ = 0.5, σ₂ = 1.0 и

σ₃ = 2.0.

Рисунок 7. Вид кривых нормального закона распределения при изменении характеристики рассеивания

Таким образом, значением σ определяется форма кривой распределения – это есть характе-ристика рассеивания. Размерность параметра σ совпадает с размерностью случайной величины X.

Для демонстрации взаимосвязи между μ и σ функции ФПВ выполните перечисленные ниже действия:

· найдите в каталоге Учебные пособия (Explore) файл Распределения.xls (Distributions.xls) и откройте его;

· выберите раздел Нормальное распределение (Normal). В правой части

книги появится показанная на рис. 8 диаграмма с кратким описанием

и несколькими элементами управления.

Рисунок 8. Пример нормального распределения

В исходном состоянии в разделе Нормальное распределение указано значение 0 для пара-метра μ и значение 1 для параметра σ. Нормальное распределение с такими значениями парамет-ров называется стандартным нормальным распределением. Попробуйте изменить значения пара-метров μ и σ и по завершению демонстрации закройте учебное пособие Распределения.xls (Distributions.xls) без сохранения изменений.

В нормальном распределении около 68,3% значений лежат в области 1σ или одного стан-дартного отклонения от среднего μ, около 95,4% – в области 2σ или двух стандартных отклонений от среднего μ, более 99% – в области 3σ или трех стандартных отклонений от среднего μ (рис. 9).

В статистических исследованиях очень часто используют данные, которые удовлетворяют нормальному распределению, а потому эти значения играют крайне важную роль. Например, для быстрой оценки диапазона, в котором находится большинство данных, можно использовать об-ласть двух стандартных отклонений от среднего.

Рисунок 9. Расположение данных в нормальном распределении

Постройте гистограмму самостоятельно. Для построения гистограммы данных о среднем уровне длины прутков, которые нарезает рабочий в заданный размер, выполните следующие дей-ствия:

· найдите и откройте рабочую книгу Арматура.xls (Rod.xls), которая

находится в каталоге Примеры (Student);

· выберите команду Файл → Сохранить как и сохраните рабочую книгу

в файле Арматура2.xls (Rod2.xls).

После этого рабочая книга будет выглядеть так, как на рис. 10.

Рисунок 10. Рабочая книга Арматура2.xls (Rod2.xls)

Для создания гистограммы данных о среднем уровне длины прутков выполните перечис-ленные ниже действия:

· выберите команду меню StatPlus → Single Variable Charts → Histograms

(Диаграммы одной переменной → Гистограммы);

· в диалоговом окне Create Histogram (Создать гистограмму) щелкните на

кнопке Data Values (Значения данных), затем в диалоговом окне Input

Options (Входные параметры) выберите переключатель Use Range Names

(Диапазон данных) и выберите элемент Пруток1. Щелкните на кнопке ОК;

· установите флажок Normal curve (Нормальная кривая);

· щелкните на кнопке Output (Выход), в диалоговом окне Chart Output

Options (Выходные параметры) выберите переключатель As a new chart

sheet (Имя нового листа) и введите заголовок Гистограмма в текстовом

поле справа. Щелкните на кнопке ОК.

На рис. 11 показан окончательный вид диалогового окна Create Histogram.

Рисунок 11. Диалоговое окно Create Histogram

В диалоговом окне Create Histogram щелкните на кнопке ОК для получения результатов, которые показаны на рис. 12.

Рисунок 12. Гистограмма данных о среднем уровне длины прутков

Эта гистограмма не совсем строго соответствует кривой нормального распределения, но со-гласно теории вероятностей нормального распределения, при увеличении размера выборки рас-пределение значений все более точно соответствует кривой нормального распределения.

Завершив работу с книгой Арматура2.xls (Rod2.xls), закройте ее и сохраните полученные результаты.

Количественные данные представляют собой наблюдения, полученные с помощью измере-ния и записи значений некоторой характеристики для каждой единицы, рассматриваемой в под-группе, например длина в метрах, сопротивление в омах, шум в децибелах и т.д.

Карты для количественных данных, и особенно простейшие из них ( – карты и r – карты), – это классические контрольные карты, применяемые для управления процессами. Контрольные карты для количественных данных имеют следующие преимущества:

· большинство процессов и их продукция на выходе имеют характеристики,

которые могут быть измерены, так что применимость таких карт потенциально

широка;

· измеренное значение содержит больше информации, чем простое утверждение

«да – нет»;

· характеристики процесса могут быть проанализированы безотносительно установленных требований. Карты запускаются вместе с процессом и дают независимую картину того, на что процесс способен. После этого характеристики процесса можно сравнивать или нет с установленными требованиями;

· хотя получение количественных данных дороже, чем альтернативных, объемы подгрупп для количественных данных почти всегда гораздо меньше и при этом намного эффективнее. Это позволяет в некоторых случаях снизить общую стоимость контроля и уменьшить временной разрыв между производством продукции и корректирующим воздействием.

При контроле по количественному признаку используют следующие виды карт:

· средних арифметических значений ( – карта);

· медиан (x_med – карта);

· среднеквадратических отклонений (s – карта);

· размахов (r – карта).