Енергетичне тлумачення спектра сигналу

Розглянемо розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Хай цей сигнал являє собою значення струму i(t) у резисторі R і описується складною періодичною функцією часу з періодом Т. Якщо цей сигнал розкласти в ряд Фур’є, то він буде являти собою нескінченну суму гармонічних складових. Середня активна потужність, яка виділяється на резисторі R k -ю гармонікою, як відомо з курсу фізики, буде такою:

,

де А_k — амплітуда діючого значення струму.

Середня потужність, яка виділяється на резисторі R усіма гармонічними складовими, дорівнює сумі середніх потужностей, що виділяються окремими гармонічними складовими струму з амплітудами А ₁, А ₂ ,..., А_¥ та його постійною складовою, тобто

.

(3.11)

Розглянемо розподіл енергії у спектрі неперіодичного сигналу. З курсу фізики відомо, що енергія, яка виділяється сигналом x (t) (струмом) у резисторі опором 1 Ом, визначається виразом

.

(3.12)

Якщо неперіодичний сигнал (значення струму) описується не складною функцією часу, то його повна енергія визначається за формулою (3.11). Наприклад, повна енергія одиночного прямокутного імпульсу (див. рис. 3.5, а) з амплітудою струму А і тривалістю 2 t на резисторі опором 1 Ом дорівнює 2 tА ². Якщо ж необхідно визначити енергію сигналу у смузі частот від 0 до w_j, то необхідно у формулі (3.11) енергію W виразити через спектральну щільність S (w). Квадрат модуля спектральної щільності можна подати у вигляді

,

(3.13)

де S (– jw) — комплексно-спряжена функція для спектральної щільності S (jw).

Оскільки , то .

Підставимо ці вирази у формулу (3.13) і, взявши інтеграл, отримаємо

.

Змінивши у цьому виразі порядок інтегрування, отримаємо

.

На основі (3.9)

Підставивши цей вираз у попередній, отримаємо

.

Підставивши цей вираз у формулу (3.12), отримаємо енергію сигналу

(3.14)

як функцію квадрата модуля спектральної щільності.

З виразу (3.14) випливає, що енергія сигналу є сумою нескінченно малих доданків , які відповідають нескінченно малим ділянкам частотного спектра (рис. 3.8, б):

, або .

Звідси випливає, що

,

(3.15)

тобто якщо задано енергію DW сигналу у певній смузі частот біля частоти w_i, то модуль спектральної щільності в точці ω_i можна знайти, використовуючи останній вираз. Отримані вирази (3.10)  (3.15) широко використовуються для визначення спектра сигналу.