Методы и приемы быстрого счета, их описание

Рассмотрим некоторые методы и способы быстрого счета.

Способы сложения и вычитания чисел
	Описание способа	Примеры
1 способ	Для сложения многозначных чисел записываем сумму цифр каждого столбца отдельной строкой, затем складываем записанные друг под другом цифры сумм.	________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
2 способ	Десятки, получившиеся при сложении цифр любого столбца, прибавляем к единицам суммы цифр следующего столбца. Последнюю цифру каждой суммы сносим в ответ.	+ 8285 + 6437 __________________________________________________ ________________________________________________________
3 способ	Начинаем сложение с первого числа и последовательно прибавляем к нему сначала единицы второго слагаемого, затем десятки, сотни и т.д. Аналогично поступаем со следующими слагаемыми.	287+ 374+ 549=1210 287+4=291 661+9=670 291+70=361 670+40=710 361+300=661 710+500=1210
4 способ	«Неудобные» числа преобразовываем в «удобные», представляя их как сумму или разность двух чисел, одно из которых «круглое» (заканчивается одним или несколькими нулями).	386+177+592=(400-14)+(200-23)+(600-8)=(400+200+600)-(14+23+8)=1200-45=1155   1287-798-487+298=(1287-487)-(798-298)=800-500=300

Когда мы их изучали источники информации о способах и приемах, облегчающих счет, мы выделили несколько интересных, как нам показалось, методов.

В России в недалеком прошлом использовали способ умножения чисел, не требующий знаний всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и

делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (начало, скорее всего, от египетского).

Пример: умножим 65х43

: 2 · 2 - запишем числа на одной строчке, проведем между ними

65 43 вертикальную черту;

32 86 - левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2

16 172 (если при делении возникает остаток, его отбрасываем);

8 344 - деление заканчивается, когда слева появится единица;

4 688 - вычеркиваем те строчки, в которых стоят слева четные

2 1376 числа;

1 2752 - далее оставшиеся справа числа складываем – это результат

2752+43=2795

Не менее интересен способ умножения чисел, придуманный в Древней Индии, названный «методом решетки». Этот метод даже проще, чем тот, который мы применяем сегодня. Для того чтобы умножить двузначные числа, чертят прямоугольник, в котором две клетки по длине и две клетки по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали и прочитаем результат по стрелке вниз и вправо.

Примеры: 37·29=1073 54·28=1512

6 1

7 3 1 2

Этим способом можно умножать и многозначные числа. Например: 764·15=11460

- рисуем прямоугольник 3х2 (по количеству знаков у каждого множителя);

- квадратные клетки делим по

диагонали, как показано на рис.

- вверху записываем число 7 6 4;

- слева таблицы число 15;

- в каждый квадрат вписываем произведение цифр-сомножителей, расположенных

в одной строчке и в одном с этим квадратиком столбце (десятки ниже диагонали, единицы – выше);

- складываем цифры вдоль каждой диагонали (справа, вниз и налево);

- результат читаем внизу (слева направо и вверх). 11460.

Пример: 984·342=336528

336528

В современном мире математики пользуется популярностью книга «Системы быстрого счета» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга. Находясь в заключении в фашистском концлагере во время второй мировой войны, Трахтенберг разработал систему ускоренного счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок в тяжелейших условиях плена. Его система позволяет умножать большие числа на небольшие, а также в ней описаны и некоторые другие методы.

Умножим 18527·11:

- -записываем цифры результата справа налево. Первая правая цифра та же, что и у исходного числа. Далее добавляем к цифре ее соседа справа. Если сумма получается больше 10, то запоминаем число десятков, которое прибавляем к следующей сумме:

18527·11=(1+0)(1+8)(8+5)(5+2)(2+7)·7=203797

123184·11=(1+0)(1+2)(2+3)(3+1)(1+8)(8+4)·4=1355024

Рассмотрим пример умножения многозначного числа на 12 по Трахтенбергу:

- начинаем с самой правой цифры: удваиваем, записываем последнюю цифру и запоминаем число десятков, если они есть

- переходим влево к следующей цифре: удваиваем ее, прибавляем соседа справа и число десятков, если они были;

- переходим влево к следующей цифре и повторяем то же самое и так до последней левой цифры, когда удваиваем ноль и прибавляем ее к результату.

Примеры:

572348·12= (0·2+5)(5·2+7)(7·2+2)(2·2+3)(3·2+4)(4·2+8)·6=6868176

9843774·12=(0·2+9)(9·2+8)(8·2+4)(4·2+3)(3·2+7)(7·2+7)(7·2+4)·8=11812528

Сводная таблица умножения чисел по Трахтенбергу

Умножение на	Характер действий
	Прибавить соседа
	Удвойте цифру и прибавьте соседа
	Прибавить 5 к цифре, если она нечетная; Ничего не прибавлять, если она четная. Прибавьте половину соседа (дроби отбросить)
	Удвоить цифру, прибавить 5, если она нечетная и половину соседа
	Используйте половину соседа +5, если цифра нечетна
	1) Вычтите из 10 2) Вычтите из 9 и прибавьте соседа 3) Уменьшите самую левую цифру на 1
	1) Вычтите из 10 и удвойте 2) Вычтите из 9, удвойте и прибавьте соседа 3) Уменьшите самую левую цифру на 2
	1) Вычтите из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная 2) Вычтите из 9, прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная 3) Возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите ее наполовину
	1) Вычтите из 10, удвойте и прибавьте 5, если цифра нечетная 2) Вычтите из 9, удвойте, прибавьте 5, если цифра нечетная и прибавьте половину соседа 3) Возьмите половину самой левой цифры
	Удвойте каждую цифру множимого, не пользуясь соседом
	Перепишите множимое без изменений
	0, умноженный на любое число дает 0

В приложении 2 описаны основные идеи и правила умножения по системе Я. Трахтенберга, приведены примеры.

Выводы

Сначала вычисления по Трахтенбергу покажутся немного странными, так как приходится перестраивать ход своих мыслей. Требуется умение сосредотачиваться, в чем и заключается секрет успеха. Как видно из приведенных примеров, при умножении чисел по методу Трахтенберга нам никогда не приходится переносить чисел больше, чем 2. Это облегчает умножение. Но как всякое новое дело, на усвоение правил требуется время и тренировка. Единственная трудность, которая никогда не исчезает, заключается в необходимости быть всегда внимательным.