Текущий полярный радиус эллипса

Анализ участков контакта нитей основы и утка при различных фазах строения ткани указывает на существенное изменение величины текущего полярного радиуса R_M наружного эллипсовидного контура поперечного сечения нитей от величины малой полуоси эллипса b до размера большой полуоси a (Фиг. 4). Поэтому возникла необходимость вывода формулы для определения текущего радиуса эллипса в зависимости от величины полуосей a и b, а также полярного угла β наклона радиуса R_M к большой полуоси: R_M = f (a, b, β).

В соответствии с известным методом построения эллипса проведем на Фиг.4 две окружности радиусами а и b. Ось Х совпадает с большой полуосью а, а ось Y - с малой полуосью b. Для произвольной точки М на дуге эллипса проведем перпендикуляр к оси Х и до пересечения с большой окружностью в точке N. Тогда линия ОN = а образует полярный угол t с осью Х. Из точки М проведем перпендикуляр к оси Y до пересечения с малой окружностью радиуса b в точке N₂.

Известны параметрические уравнения эллипса, содержащие полярный угол t [20-Фролов-стр52]:

X_M = a∙Cos t; Y_M = b ∙Sin t (13)

Известно также параметрическое уравнение касательной к эллипсу (Выгодский М.Я., [21]):

b∙ Cos t∙ X_M + a ∙Sin t ∙Y_M – a∙b = 0 (14)

Однако, нас интересует иное: величина полярного угла β между текущим полярным радиусом R_M эллипса и большой полуосью а.

Из ∆ONN₁ на Фиг.4 запишем равенства:

Cos t = x_M / a; Sin t = Y_M / b; X_M = R_M∙ Cos β; Y_M = R_M∙ Sin β.

Тогда Cos t = (R_M /a) ∙ Cos β; Sin t = (R_M/ b) ∙ Sin β.

Подставим эти значения в уравнение касательной (14) и после преобразований получим в общем виде формулу величины текущего полярного радиуса любой точки эллипса в зависимости от величины параметров смятой нити в форме эллипса и полярного угла β:

(15)