Момент силы относительно центра (или точки)

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.

Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 11). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , называется плечом силы относительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно перемещать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h; 2) от положения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F; 3) от направления поворота к этой плоскости.

Рис.11

Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Момент силы относительно центра О будем обозначать символом m ₀(F). Следовательно,

В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на рис.20, а, момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20, б, - знак минус.

Отметим следующие свойства момента силы:

1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия.

2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью треугольника ОАВ (рис. 20, б)

Этот результат следует из того, что

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Докажем следующую теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рис.12

Рассмотрим систему сил , сходящихся в точке А (рис.12). Возьмем произвольный центр О и проведем через него ось Ох, перпендикулярную к прямой ОА; положительное направление оси Ох выбираем так, чтобы знак проекции любой из сил на эту ось совпадал со знаком ее момента относительно центра О.

Для доказательства теоремы найдем соответствующие выражения моментов m₀(), m₀(), …. По формуле . Но, как видно из рисунка, где F ₁_x - проекция силы на ось Ох; следовательно

Аналогично вычисляются моменты всех других сил.

Обозначим равнодействующую сил , через , где . Тогда, по теореме о проекции суммы сил на ось, получим . Умножая обе части этого равенства на ОА, найдем:

или,

Пара сил. Момент пары.

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.13). Очевидно, и .

Рис.13

Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:

Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары.

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается положительным (как на рис.13), если по часовой стрелке – отрицательным.

Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 14).

Нетрудно доказать, что вектор момента пары – есть вектор этого векторного произведения (рис. 14). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки А, точки приложения второй силы: