Пример1.4

1,25₁₀=12,5·10^-1 = 125·10^-2 = 1,25·10⁰ = 0,125·10¹ – 0,0125·10² и т.д.

Рассмотрим компоненты числа в двоичной нотации с плавающей точкой на примере восьмиразрядного формата (рисунок 1.16).

Рисунок 1.16 – Компоненты двоичного вещественного числа
в восьмиразрядном формате с плавающей точкой

Пусть, например, восьмиразрядное слово (байт) содержит битовую комбинацию: 0 110 1011. Для расшифровки записи вначале выделим мантиссу, поместив слева от нее плавающую точку:.1011. Далее выделим поле порядка, как целое трехразрядное число в двоичной нотации с избытком: 110. Это число «два». Следовательно, плавающую точку в полученном ранее значении следует перенести на два разряда вправо: 10.11 (при отрицательном порядке плавающая точка перемещается влево). Наконец, знаковый бит имеет значение 0, следовательно, исходная двоичная комбинация представляет положительное число .

Существует следующее правило:

Если «плавающая» точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине.

Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Примечание – При подсчете значащих цифр не учитывают нули, стоящих слева, например, в числе 0,00 19030 пять значащих цифр (они подчеркнуты).

Мантиссу и порядок q -ичного числа обычно принято записывать в системе с основанием q, а само основание – в десятичной системе (таблица 1.4).

Таблица 1.4 – Примеры нормализованного представления

Для лучшего понимания принципов машинных вычислений необходимо обратить внимание на следующие два положения:

1) Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Если размер мантиссы оказывается недостаточным, это означает, что часть кодируемого числа теряется. Это явление называется ошибкой усечения (или ошибкой округления). Некоторые из существующих чисел вообще невозможно выразить точно в вещественном виде, сколько бы знаков не использовалось для их представления. Например, в десятичной системе или – в двоичной.

2) Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

В настоящее время для чисел с плавающей точкой используют восьмидесятиразрядное кодирование.

Арифметические действия над нормализованными числами компьютер производит с некоторыми особенностями, которые говорят о том, что с точки зрения машины между математическими операциями над целыми и дробными числами нет ничего общего.

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков. В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу. В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Например, при сложении двоичных нормализованных чисел 0.10111·2^–1 и 0.11011·2¹⁰ разность порядков слагаемых равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо. При вычитании двоичных нормализованных чисел 0.10101·2¹⁰ и 0.11101·2¹ разность порядков уменьшаемого и вычитаемого равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо.

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.