К линейной функции можно привести любую функцию вида ψ(y)=aּφ(x)+b, для этого достаточно сделать замену переменных, z=ψ(y), t=φ(x). Тогда мы получим z=aּt+b.
Рассмотрим показательную функцию 
.
Прологарифмируем это равенство. Получим ln(y)=ln(a)+x ln(b). Сделаем замену переменных z= ln(y), t=x и обозначим А= ln(b) B= ln(a). После замены получим z=A t+b.
Аналогично делаются замены и для других функций из таблицы.
Таблица 7.1.
Таблица замен
| №
| Вид функции
| Замена переменных
| Характерные точки
| Отклонения
|
| 1.
| 
|
| 
| 
|
| 2.
| 
| 
| 
| 
|
| 3.
| 
| 
| 
| 
|
| 4.
| 
| 
| 
| 
|
| 5.
| 
|  
| 
| 
|
| 6.
| 
| 
| 
| 
|
| 7.
| 
| 
| 
| 
|
, 
, 
.
, 
, 
.
- табличное значение для xар;
- табличное значение для хгеом;
- табличное значение для хгарм.
В таблице может не оказаться точек 
тогда точки 
, 
доопределяют по соседним точкам таблицы с помощью линейной интерполяции.
Для аналитических кривых существуют характерные точки, которые лежат на этих кривых. Например, если две точки принадлежат прямой, то и точка с координатами (
, 
) принадлежит той же прямой, если две точки принадлежат гиперболе, то и точка (xар,yгарм) также принадлежат этой гиперболе. В таблице через 
обозначено отклонение табличного значения , соответствующего xар, от ординаты характерной точки , через 
- отклонение табличного от ординаты характерной точки yгарм и т.д.
Остальные 
находятся аналогично, в зависимости от характерных точек. Функция, для которой 
примет наименьшее значение и будет наиболее подходящей. После соответствующей замены переменных применяют метод наименьших квадратов.
Пример 7.1
Бомба «Рейда» это техническое устройство для изучения легкоиспаряющихся жидкостей. В эксперименте на бомбе «Рейда» при постоянной температуре измеряется манометром избыточное давление паров нефти при различных соотношениях объёмов газовой и жидкой фаз. Определить эмпирическую зависимость давления паров нефти от соотношения объёмов газовой и жидкой фаз методом наименьших квадратов. Набор экспериментальных данных представлен в таблицах
Для того, чтобы выбрать наиболее подходящую зависимость построим график по табличным данным
Можно предположить, что это будет:
1. показательная функция (строка 2 таблицы 7.1),
2. степенная функция (строка 5 таблицы 7.1),
3. дробно–рациональная функция (строка 3 таблицы 7.1).
Выберем ту функцию, для которой примет наименьшее значение.
В таблице данных нет значений , 
, 
, подставляя , , вместо v в формулу для линейной интерполяции, найдем соответствующие им значения функции , , 
.
Формула для вычисления табличного значения для  ,  ,  , с помощью линейной интерполяции
|
Самые маленькие 
. Найдем методом выравнивания параметры для выбранных видов зависимостей. Будем искать аппроксимирующую функцию в виде
.
Делаем замену переменных
После замены точки ложатся близко к прямой. Параметры этой прямой A и B
После замены z = At + B нашли A и B по методу наименьших квадратов, используя встроенные функции Mathcadа.
Функция slope(x,y) возвращает значение углового коэффициента.
Функция intercept(x,y) возвращает значение свободного параметра.
Возвращаемся к исходной функции 
, строим её график и находим сумму квадратов отклонений от исходной таблицы значений. Можно также найти и среднеквадратичное отклонение.
.
Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого сумма квадратов отклонений меньше.
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное показательной функцией
.
| среднеквадратичное отклонение.
|
| сумма квадратов отклонений
|
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное дробно-линейной функцией 
.
Рис. 7.2. Решение примера 7.1 в Mathcad
Лучшим приближением для этих экспериментальных данных будет степенная функция. 
2015-10-14
1119
