Рис 8.1. Общая формула трапеций
Для вычисления интеграла 
разделим промежуток интегрирования [ a,b ] на n равных частей 
и к каждому из них применим формулу трапеций (8.4).
Положим 
и обозначим через 
значения подынтегральной функции в точках xi тогда: 
, или
. (8.5)
Геометрически формула (8.5) получается в результате замены графика подынтегральной функции 
ломаной линией.
Oстаточный член общей формулы трапеций (8.5) равен:
где 
. (8.6)
Рассмотрим среднее арифметическое значение второй производной 
на отрезке [a,b] по всем промежуткам
(8.7)
Очевидно, m заключается между наименьшим m2 и наибольшим M2 значениями второй производной 
на отрезке [a,b], т.е. 
.
В силу непрерывности на отрезке [a,b], она принимает все значения от m2 до M2. Значит, существует точка ξ, такая что μ=f''(ξ). Из формул (8.6) и (8.7) получим:
(8.8)
где 
Пример 8.1. Выполнено в Mathcad
Вычислить интеграл
по методу трапеций с тремя десятичными знаками.
Сначала для сравнения покажем результат, вычисленный в Mathcad стандартным способом с тремя верными цифрами после запятой.
В Mathcad числа могут быть вычислены с 17 десятичными знаками, поэтому не будем учитывать погрешности вычислений и тогда погрешность метода ε=0,0005. Для достижения заданной точности решим неравенство
| где R- остаточный член формулы трапеций, который находится по формуле (8.8)
|
| Пусть M-максимальное по модулю значение f2(x) на [a,b] тогда
|
Подставляем в формулу h и решаем неравенство относительно n:
Для всех натуральных значений " n " больших, чем полученный корень, остаточный член формулы трапеций  будет меньше заданной точности e
|
| Hайдем вторую производную f(x) и ее максимум на [a,b]
|
| Найдем значение n, при котором остаточный член будет меньше заданной точности
|
Рис. 8.2. Решение примера 8.1 в Mathcad
8.3 Формула Симпсона и ее остаточный член
Рис 8.2. Формула Симпсона
Найдем коэффициенты -Котеса для n=1
.
Подставим в формулу (8.3)
.
Если подынтегральная функция 
четырежды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы Симпсонаравен: 
2015-10-14
1518
