Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис.5.1), т.е.

. (5.1)

Формула (5.1) можно записать в виде .

Свойства скалярного произведения векторов

1. или . (5.2)

2. . (5.3)

3. . (5.4)

4. .

5. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Векторы и , скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. Если заданы два вектора и , то

, (5.5)

т.е. скалярное произведение двух векторов, заданных в координатной форме, равно сумме произведений одноименных координат.

Некоторые формулы, часто используемые при решении задач

1. Угол между двумя векторами.

. (5.6)

2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов и является условие

.

3. Условие параллельности (коллинеарности) двух векторов и :

, .

4. Проекция вектора на заданное направление.

, т.е. . (5.7)

3. Работа постоянной силы.

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием силы , образующей угол с перемещением (рис.5.2). Известно, что работа силы при перемещении равна

, (5.8)

т.е. работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Задача 5.1. Найти длину вектора , если , .

Решение. Имеем

.

Задача 5.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, вершины которого в точках , , , , взаимно перпендикулярны.

Решение. С помощью формулы (4.3) определим координаты векторов и , лежащих на диагоналях четырехугольника и вычислим скалярное произведение .

Так как выполнено условие перпендикулярности векторов, следовательно, .

Задача 5.3. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения в положение . Под каким углом к направлена сила ?

Решение. По формуле (4.3) получим . Используя (5.8), находим (ед.работы), угол между и определим по формуле , т.е. .

Отсюда, .

Задача 5.4. Выразить длину медианы произвольного треугольника через длины

его сторон.

Решение. Рассмотрим треугольник . Пусть - одна из медиан треугольника (рис.5.3).

Введем в рассмотрение векторы , и . Тогда . Возведем обе части последнего равенства в квадрат: , отсюда получаем

. (5.9).

Из рисунка 5.3 имеем, что , отсюда . Следовательно, . Подставляя полученное выражение в правую часть равенства (5.9), находим . Итак, длина медианы равна .