Векторы и операции над ними

Некоторые физические параметры (температура, масса, работа и др.) могут быть охарактеризованы одним числом, выражающим отношение рассматриваемой величины к другой однородной величине, принятой за единицу измерения. Такие величины называют скалярными; другие же величины (сила, скорость, ускорение) характеризуются числом и направлением и называются векторными. Для геометрического изображения физических векторных величин служат векторы.

Вектором называется направленный отрезок , в котором точка - начало, а точка - конец. Векторы обозначаются символом или .

Модулем вектора называется длина вектора - скалярная величина, обозначаемая или , .Если , то вектор называется нулевым, если , то вектор называется единичным вектором. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным. Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковые длины, коллинеарны и сонаправлены.

Проекцией вектора на ось называется положительное число , если направление совпадает с направлением и отрицательное число , если направление - противоположное направлению , где , - проекции точек и , соответственно, на указанную ось (рис. 4.1).

Рис.4.1.

Из определения проекции вектора вытекает, что . Пусть вектор составляет угол с осью , тогда

, , .

Под линейными операциями над векторами будем понимать операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Произведением вектора на число (скаляр) называется новый вектор, имеющий длину и сонаправленный с (при ) или противоположнонаправленный с (если ). Геометрически, например, для и имеем векторы:

Суммой векторов и называется вектор , замыкающий ломаную, построенную из данных векторов. Геометрически это выглядит следующим образом:

(правило треугольника);	(правило параллелограмма);
(правило параллелепипеда);	(правило замыкающей).

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Прямоугольными декартовыми координатами точки в пространстве называются числа , выражающие величины векторов (рис.4.2), где - проекции этой точки на взаимно перпендикулярные координатные оси: ось (ось абсцисс), ось (ось ординат), ось (ось аппликат).

Радиусом-вектором точки называется вектор , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой (рис.4.2).

Векторы , и единичной длины, направления которых совпадают соответственно с направлениями осей координат , называют ортами.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , , , образованных этим вектором с осями координат ().

Тогда , , , (4.1) причем .

Если , то .

Теорема. Пусть - вектор в пространстве , а - его проекции на координатные оси, тогда вектор единственным образом можно представить в виде суммы произведений координат вектора на соответствующие орты координатных осей.

. (4.2)

Векторное равенство (4.2) часто записывают в символической форме .

Некоторые формулы, используемые при решении задач:

1. Умножение вектора на число:

или .

2. Сумма двух векторов:

, где , .

3. Расстояние между двумя точками.

Если даны две точки: и (рис.4.3),то координаты вектора вычисляются по формуле:

. (4.3)

Расстояние между двумя точками определяется равенством:

. (4.4)

4. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть даны две точки и (рис.4.4), тогда координаты точки такой, что , определяются по формулам:

, , . (4.5)

Если , то получим формулу для «деления отрезка пополам»:

, , . (4.6)

Задача 4.1. Даны две точки и . Найти координаты вектора , его длину и определить направляющие косинусы.

Решение. Используя формулу (4.3) получим: . По формуле (4.4) вычислим длину вектора : . Соотношения (4.1) позволяют определить направляющие косинусы вектора: .

Задача 4.2. Даны векторы , , . Разложить вектор по векторам .

Решение. Пусть , где - некоторые неизвестные коэффициенты. Используя свойства линейных операций над векторами, получим систему уравнений:

Решением последней системы уравнений будут значения . Итак, .

Задача 4.3. Для заданной силы найти величину и направление.

Решение. По формуле (4.4) находим величину силы . Направляющие косинусы вектора определяем с помощью равенств (4.1): . Следовательно, сила с величиной действует в направлении вектора, образующего с координатными осями углы .