Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть на нормально распределенную случайную величину Y воздействует фактор А, имеющий I состояний (уровней). Результаты наблюдений составляют, таким образом, I групп (выборок) объемом J_i (i=1,..I), полученных при разных уровнях фактора и имеющих одинаковые дисперсии и средние значения m_i. Проверяется гипотеза Н₀: все средние равны (m₁=m₂=…=m_I=m).

Измеренное значение случайной величины можно представить в виде следующей суммы: y_ij=m + a_i +e_ij, j=1,…,J_i, i=1,…, I, где m- генеральное среднее, a_i – главные, или дифференциальные эффекты фактора А, определяемые для каждого уровня, e_ij – случайные ошибки, распределенные по нормальному закону с нулевым средним.

Процедура однофакторного дисперсионного анализа сводится к следующему. Предварительно проводится оценка генерального среднего

(5.1)

где n= S J_i – общее количество данных, средних по группам

, (5.2)

а так же дифференциальных (главных) эффектов

(5.3)

Дальнейшие расчеты сводятся в таблицу (смотри таблицу 11).

Таблица 11– Таблица однофакторного дисперсионного анализа

Источник дисперсии	Сумма квадратов	Степени свободы	Средний квадрат
Между уровнями (группами)
Внутри уровней (групп)
Полная			–

Последняя строка таблицы служит ля проверки правильности расчетов: значения в последней строке равны сумме предыдущих строк.

Для проверки гипотезы Н₀: a₁=a₂=…=a_I=0 о том, что все дифференциальные эффекты равны нулю, вычисляют F-отношение

F=MS_B/MS_R. (5.4)

Если F<F_g(n_B, n_R),

где F_g(n_B, n_R) - g - квантиль распределения Фишера с n_B и n_R степенями свободы, нулевая гипотеза Н₀ принимается с вероятностью g.

Принятие гипотезы Н₀: все a_i=0 означает справедливость эквивалентной гипотезы Н₀: m₁=m₂= … =m_I=m, что все средние равны, т.е. фактор А не влияет на исследуемую величину.

Если гипотеза о равенстве средних отклоняется, то требуется определить, какие именно группы имеют значимое различие средних. Для этого применяются различные процедуры множественного сравнения, наиболее известная из которых – метод линейных контрастов (метод Шеффе).

Линейным контрастом называется любая линейная комбинация средних , коэффициенты которой удовлетворяют условию ∑λ_i=0. Для проверки гипотезы о равенстве контраста нулю, необходимо определить доверительный интервал этого контраста

(5.5)

где величина S определяется из выражения:

(5.6)

Если этот интервал не содержит 0, гипотеза о равенстве контраста нулю отвергается. Этот процесс повторяется для каждого, представляющего интерес контраста.

Вопросы для самоконтроля

1 В чем сущность однофакторного дисперсионного ана­лиза?

2 Как вычисляются генеральное среднее и средние по группам?

3 Как проверить гипотезу о равенстве нулю дифферен­циальных эффектов фактора?

4 Что такое линейный контраст?

5 Каким образом проверяется равенство нулю линейного контраста?