Основные понятия по теме

Сущность спектрального анализа состоит в разложении исходной информации на различные частотные составляющие. Он основан на теореме Фурье: любой непрерывный периодический, с периодом Т сигнал может быть представлен виде ряда (ряда Фурье)

(6.1)

где f₁ =1/Т – основная частота.

Коэффициенты ряда Фурье А_m и В_m находят из выражения:

(6.2)

и называются коэффициентами Фурье, а их вычисление – анализом Фурье (гармоническим анализом).

Для тригонометрического ряда Фурье вводятся понятия амплитуды R_m и фазы φ_m m– гармоники, связанные с коэффициентами Фурье соотношениями:

(6.3)

В этом случае ряд Фурье принимает вид:

(6.4)

Распределение амплитуд гармонических составляющих сигнала R_m в зависимости от частоты (номера гармоники) называется амплитудным спектром (или амплитудно-частотным), распределение фаз этих гармоник φ_m от частоты – фазовым спектром (или частотно-фазовым). Спектры периодических сигналов являются бесконечными, дискретными и линейчатыми.

Фактически все геофизические сигналы нельзя считать строго периодическими, поэтому практическое значение имеет рассмотрение спектров непериодических сигналов. Их разлагают в интеграл Фурье:

(6.5)

(6.6)

Эти выражения прямого и обратного преобразования Фурье для апериодического сигнала называют интегралами Фурье. В общем случае величина S(f) является уже комплексной величиной.

С введением круговой частоты интегралы Фурье принимают вид:

(6.7)

(6.8)

Амплитудный и фазовый спектры:

R(ω)=|S(ω)|; φ(ω)=arg(S(ω)). (6.9)

В связи с использованием ЭВМ практические приложения анализа Фурье при обработке геофизических полей обусловлены представлением исходных данных как сигналов, заданных в дискретные моменты наблюдения, т.е.

s_i=s(x=iΔx=iΔ), i =1,... n.

Кроме того, в большинстве методов, регистрирующих потенциальные поля, наблюдения проводятся дискретно. Величина Δx или Δ называется шаг (интервал) дискретизации.

Известно, что любую периодическую, с периодом Т, функцию можно представить в виде конечного ряда Фурье

, (6.10)

в котором коэффициенты A_i и B_i можно выбрать так, чтобы значения этой функции в точках x_i=iΔ со значениями s_i дискретной функции. Функция является приближением к исходной функции, заданной своими дискретными значениями. В выражении (6.10) f₁=1/T – основная частота сигнала, r=n /2, i = – r,..., r –1, Δ= Т/n.

Коэффициенты дискретного ряда Фурье определяются соотношениями:

, (6.11)

где m =0, 1,..., n /2.

Исходный сигнал s_i в результате разложения (6.10) представляется суммой синусоидальных и косинусоидальных функций, частоты которых f_m кратны основной частоте f_m = mf₁. Иначе они называются гармониками основной частоты, их периоды T_m = T/m, а амплитуды A_m и B_m. Наивысшей частотой является частота f_r = r/n Δ = 1/2Δ. Эта частота соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета и называется частотой Найквиста.

Амплитуда и фаза каждой гармоники определяется в соответствии с выражениями (6.3). Широко так же используется тригонометрическая форма ряда Фурье через амплитуды и фазы:

. (6.12)

Амплитудный и фазовый спектры дискретного сигнала являются линейчатыми, дискретными, ограниченными по частоте, они состоят из отдельных линий, соответствующих частотам: 0, f₁, f₂ = 2 f₁ и т.д.

Как уже отмечалось, в практике обработки геофизических данных используются в основном дискретно заданные сигналы. Поэтому зарегистрированные аналоговые записи необходимо подвергнуть дискретизации таким образом, чтобы информация о физическом поле была бы минимально искажена.

Интервал дискретизации непрерывного сигнала определяется на основе теоремы (прямой) Котельникова. Любой сигнал s(t), описываемый функцией с ограниченным спектром, определяется однозначно своими значениями, расположенными через интервал

Δt=π/ω_гр =1/2 f_гр, (6.13)

где ω_гр и f_гр – граничная частота (круговая и Герцова).

Используемые в геофизической практике короткие импульсы имеют неограниченный спектр, поэтому при дискретизации таких сигналов граничную частоту определяют по значениям, при которых спектральная плотность сигнала становится меньше чем (0,1 – 0,05) от максимального значения.

Вопросы для самоконтроля

1 Что такое период и частота колебаний?

2 Что такое фаза колебаний?

3 Как вычислить коэффициенты Фурье?

4 Что такое амплитудный и фазовый спектры?

5 Что представляет собой амплитудный спектр периоди­ческого сигнала?

6 Что представляет собой амплитудный спектр неперио­дического сигнала?

7 Что представляет собой амплитудный спектр дискрет­ного сигнала?

8 Как проводить дискретизацию непрерывного сигнала по теореме Котельникова?

9 Какие характеристики спектра дискретного сигнала связаны с длиной записи Т и шагом дискретизации Δ?