2015-10-14
5970
Рассмотрим равновесие нити, прилегающей к неподвижному шероховатому цилиндру на дуге с углом 
(см. рис. 9.3). 
Пусть к одному из концов нити приложена сила Р. Какую наименьшую силу Q надо приложить к другому концу нити, что бы она оставалась в покое?
Выделим элемент нити длиной 
, обозначим действующие на него силы (см. рис. 9.3).
Запишем проекции на касательную и нормаль уравнения равновесия сил, действующих на элемент:
Здесь T и (T+dT) - силы натяжения нити на правом и левом концах элемента, соответственно,
dN - сила нормального давления, приложенная со стороны цилиндра к элементу нити,
- сила трения элемента нити о поверхность цилиндра.
Отбросив величины высших порядков малости и учитывая малость угла 
(в этом случае 
), решим систему уравнений относительно dT:
Разделив переменные и взяв определенные интегралы от левой и правой частей, получим:
(9.2)
Выражение (9.2) называется формулой Эйлера.
Например, при намотке полутора оборотов пенькового каната на неподвижный деревянный цилиндр (
=0.5, 
) отношение минимальной удерживающей силы к силе тянущей равно 0.009.
|
|
|
Заметим, что величина наименьшей удерживающей силы Q не зависит от радиуса цилиндра.
Как и в задаче о покое груза на наклонной плоскости в рассматриваемой задаче можно определить наибольшее значение силы, при котором нить на цилиндрической поверхности остается в покое (для этого следует изменить направление силы трения на противоположное). Выполнив действия, аналогичные приведенным выше, получим
(9.3)
Тогда нить, прилегающая к шероховатой цилиндрической поверхности при действии на ее конец силы 
, будет покоиться при любом значении 
.
