Центр паралельних сил

Точка С, через яку проходить рівнодіюча системи паралельних сил при будь-яких поворотах сил навколо їх точок прикладання в один і той же бік та на один і той же кут, називається центром паралельних сил. Радіус-вектор точки визначається за формулою:

(9.1)

Проектуємо рівняння (9.1) на координатні осі:

(9.2)

Відмітимо, що формули (9.1) і (9.2) є правильними також для паралельних сил, направлених у різні боки, якщо в них вважати величинами алгебраїчними (для одного напрямку зі знаком “плюс”, для іншого – із знаком “мінус”) та якщо при цьому

§ 10. Центр ваги. Методи визначення координат центра ваги. Центри ваги тіл

На кожну k -ту частину тіла, яке знаходиться біля земної поверхні, діє направлена вертикально вниз сила , названа силою ваги.

У дійсності сила ваги складається з окремих складових, які прикладені до окремих частин тіла, та є системою збіжних сил, бо лінії дії цих сил перетинаються в одній точці – у центрі Землі. Для тіл, розміри яких малі порівняно з радіусом Землі, сили ваги усіх частинок можна вважати паралельними між собою й такими, що зберігають постійну величину при будь-яких поворотах тіла. Поле сили ваги, у якому виконуються ці дві умови, називається однорідним полем сили ваги.

Позначимо через рівнодіючу паралельних сил ваги (k =1,2,3,..., n). Модуль рівнодіючої дорівнює вазі тіла і визначається за формулою:

(10.1)

Рівнодіюча паралельних сил ваги при будь-яких положеннях тіла проходить через одну й ту ж незмінно пов'язану з тілом точку С, що є центром паралельних сил ваги (k = 1,2,3,..., n). Ця точка називається центром ваги тіла.

Центр ваги твердого тіла має таку властивість, що через нього проходить лінія дії рівнодіючої паралельних сил ваги окремих його частинок незалежно від розташування тіла в просторі. Ця властивість дозволяє експериментально визначити центр ваги неоднорідного тіла складної конфігурації згідно з правилом: достатньо підвісити тіло на нитці в деякій точці та побудувати продовження нитки в тіло. Потім підвісити тіло на нитці в іншій точці й також побудувати продовження нитки в тілі. Тоді перетин побудованих ліній визначить центр ваги цього тіла.

Згідно з § 9 маємо такі формули для визначення координат центра ваги тіла:

(10.2)

де - координати точок прикладання сил ваги частинок тіла.

Якщо позначити масу тіла через , а маси окремих частинок – через , то будемо мати:

(k = 1,2,3,..., n),

де g – прискорення сили ваги.

Підставимо ці значення у формули (10.2) й одержимо:

. (10.3)

Точка, координати якої визначаються формулами (10.3), називається центром мас або центром інерції тіла. Центр мас характеризує розподіл маси в тілі.

Якщо тіло однорідне, то формули (10.3) переписуються так:

(10.4)

де - об'єм k -тої частинки тіла.

Вирази називаються статичними моментами об'єму відносно площин Oyz, Оxz, Оxy.

Якщо тіло є однорідною тонкою пластинкою постійної товщини, то:

(10.5)

де - площі окремих частин пластинки.

Точку С, координати якої визначаються формулами (10.5), називають центром ваги площі.

Величини , називаються статичними моментами плоскої фігури відносно осей у і х.

Для координат центра ваги лінії маємо:

(10.6)

де - довжини окремих частин лінії.

Розглянемо методи визначення координат центрів ваги тіл.

1. Метод симетрії. Якщо однорідне тіло має площину, вісь або центр симетрії, то центр ваги цього тіла лежить відповідно або в площині, або на осі, або в центрі симетрії.

Наслідки:

а) центр ваги відрізка матеріальної прямої лінії лежить у його середині;

б) центр ваги круглого кільця, круглої або прямокутної пластинки, площі правильного многокутника чи еліпса, об'єму прямокутного паралелепіпеда, кулі та інших тіл, які мають центр симетрії, лежить у їх геометричних центрах (у центрах симетрії).

2. Метод розбивання. Цей метод застосовують для визначення положення центра ваги тіл складної форми. Загальний метод визначення положення центра ваги полягає в тому, що тіло розбивають на скінчене число частин більш простої форми, для яких центр ваги легко знайти. Тоді координати центра ваги всього тіла визначають за формулами (10.4), (10.5), (10.6), приймаючи: - об'єми, площі та довжини частин, на які розбивають дане тіло, плоску фігуру або лінію; - координати центрів ваги цих частин.

3. Метод доповнення. Цей метод є окремим випадком метода розбивання. Він застосовується до тіл, які мають вирізи, якщо центри ваги тіла без вирізу та вирізаних частин відомі.

Позначимо площу тіла без вирізу через , площі вирізаних частин - через , а координати їх центрів ваги - через . Тоді координати центра ваги плоского тіла з вирізами обчислюються за такими формулами:

(10.7)

Аналогічно визначаються координати центра ваги об’ємного тіла з вирізами.

4. Метод інтегрування. Якщо тіло не можна розбити на частини, положення центрів ваги яких відоме, то тіло розбивають на елементарні об'єми. У цьому разі координати центра ваги визначають за формулами:

(10.8)

де - об'єм тіла, що розглядається; інтеграли поширені на об'єм всього тіла.

Для плоскої фігури положення центра ваги визначається за формулами:

(10.9)

де - площа фігури, що розглядається; інтеграли поширюються на площу всієї фігури.

Для координат центра ваги матеріальної лінії маємо:

(10.10)

де - довжина лінії, що розглядається.

Розглянемо, як визначається положення центра ваги деяких ліній, площ і об'ємів.

Центр ваги площі трикутника. Центр ваги площі трикутника лежить у точці перетину його медіан (рис. 10.1).

При цьому, як відомо з геометрії,

(10.11)

Центр ваги дуги кола. Центр ваги дуги кола лежить на осі її симетрії на відстані від центра кола (рис. 10.2):

, (10.12)

де кут вимірюється в радіанах.

Для дуги півкола :

(10.13)

Центр ваги площі кругового сектора. Центр ваги площі кругового сектора лежить на його осі симетрії на відстані від центра, яка дорівнює:

(10.14)

Для сектора у вигляді півкола :

(10.15)

Центр ваги об'єму піраміди. Центр ваги об'єму однорідної піраміди лежить на відрізку, що з'єднує вершину піраміди з центром ваги її основи, на відстані однієї чверті довжини цього відрізка від центра ваги основи піраміди. Це справедливо також для однорідного круглого конуса (рис. 10.3).

Центр ваги об'єму півкулі. Центр ваги об'єму півкулі лежить на осі симетрії (рис. 10.4) та знаходиться на відстані

(10.16)

Вказівка. Для закріплення теоретичного матеріалу §§9 - 10 необхідно розв’язати наступні задачі із збірника: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1981 (або 1986):

1) №№ 9.1 - 9.4; 9.12; 9.14;

2) №№ 9.5; 9.10; 9.11; 9.18 - 9.20;

3) №№ 9.23 - 9.27.