Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a_opⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 +... + a_n = a_o(p-p₁)(p-p₂)...(p-p_n) = 0,

где p₁, p₂,..., p_n - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a_i = -|a_i| < 0. Подставим их в уравнение:

a₀ (p + |a₁|) (p + |a₂| - j 2) (p + |a₂| + j 2) ... = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a₀ (p + |a₁|) ((p + |a₂|)2 + ( 2)2) ... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + a₂ p^n-2 +... + a_n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a₀,a₁,...,a_n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a₀ > 0, a₁ > 0,..., a_n > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a₀ > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке - с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c_k,i = c_{k+ 1,i - 2} - ri c_{k + 1,i - 1}, где ri = c_{1,i - 2}/c_{1,i - 1}, i 3 - номер строки, k - номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Ri	i\k
-		c11 = a0	c21 = a2	c31 = a4	...
-		c12 = a1	c22 = a3	c32 = a5	...
r3 = c11/cc12		c13 = c21-r3c22	c23 = c31-r3c32	c33 = c41-r3c42	...
r3 = c11/c12		c14 = c22-r3c23	c24 = c32-r4c33	c34 = c42-r4c43	...
...	...	...	...	...	...

Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c₁₁, c₁₂, c₁₃,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, на сколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

Критерий Гурвица

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a₀p + a₁ = 0. Определитель Гурвица: = ₁ = a₁ > 0 при a₀ > 0, то есть условиие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0;

2) n = 2 => уравнение динамики: a₀p² + a₁p + a₂ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, D₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0, так как a₃ = 0, то есть условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики: a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, 3 = a_{3 2} > 0, условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя _n = a_{n n-1} = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a_n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор _n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя _n-1. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель _n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным (рис.67). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

Лекция 9. Частотные критерии устойчивости

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Принцип аргумента

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a₀ (p - p₁) (p - p₂) ... (p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = _i + j i = |p_i|e^jarg(pi),

где arg(p_i) = arctg( i/a_i) + k ,

.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_i будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j , а характеристический полином принимает вид:

D(j ) = a₀ (j - p₁) (j - p₂) ... (j - p_n).

При этом концы векторов j - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до + , то каждый вектор j - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j ) = |D(j )|e^{jarg(D(j )}),

где |D(j )| = a₀ |j - p₁| |j - p₂|...|j - p_n|,

arg(D(j )) = arg(j - p₁) + arg(j - p₂) +.. + arg(j - p_n).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j ) при изменении от - до + равен

= (n - m) - m ,

или при изменении от 0 до + получаем

= (n - 2m) ( /2).

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.