double arrow

Пример 5.2

Записываем операторное уравнение

(Tp2 + p)Y(p) = kX(p)

и передаточную функцию системы:

.

Полиномы числителя и знаменателя имеют вид:

.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы D(p) = 0, то есть,

.

Корни этого характеристического уравнения действительные:

.

 

Используя дифференциальное уравнение предыдущего примера, найти характеристическое уравнение и его корни для замкнутой системы.

Подставляя передаточную функцию разомкнутой системы в формулу (5.6), получаем характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Его корни:

Они могут быть как действительными (4 k T < 1), так и комплексными

(4 k T > 1) .

5.2. Критерий Гурвица.

Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты: a1, a3, a5. По главной диагонали, начиная с коэффициента a1, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями.

Определители Гурвица 5-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков выглядят следующим образом.

n = 5 n = 4 n = 3 n = 2

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители были положительными.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

1. Характеристическое уравнение 2-й степени:

a0p2+a1p+a2 = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

= a1a2- a0· 0 = a1a2. D2 = a1a2 .

Условие устойчивости: a0, a1, a2> 0; D2 > 0, т.е. a1a2 > 0.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:

a0p3 + a1p2 + a2p + a3 = 0.

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

= a1(a2a3 - a10) - a3(a0a3 - 0·0)+0(a0a1 - a2·0).

Δ3 = a1a2a3 - a0a23.

Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3 > 0; Δ3 > 0, или, сокращая на a3, a1a2a0a3 > 0.

3. Характеристическое уравнение 4-й степени:

a0p4 + a1p3 + a2p2 + a3p + a4 = 0 .

Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:

= а1 - а3 + 0 – 0 .

Δ4 = a1a2a3a4 a21a24a0a23a4 .

Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3, a4 > 0, Δ4 > 0, или сокращая на a4, a1a2a3 - a21a4 - a0a23 > 0 .

4. Характеристическое уравнение 5-й степени:

a0p5 + a1p4 + a2p3 + a3p2 + a4p + a5 = 0 .

Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости:

a0, a1, a2, a3, a4, a5 > 0,

(a1a2a0a3)(a3a4a2a5) – (a1a4a0a5)2 > 0 .

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

 



Сейчас читают про: