2015-10-22
427
Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными x,y,z 
можно найти с помощью формул Крамера.
х = 
; y = 
; z = 
,
где D = 
, Dx = 
; Dу= 
;Dz= 
,
При D ¹ 0 система имеет единственное решение. Если D = 0,то исходная система либо неопределенная, либо несовместная.
Пример. Решить систему линейных уравнений.
Решение:
D = 
= 14, Dx= 
= 14, Dу = 
= 28, Dz = 
= 42.
х = = 
=1; y = = 
= 2; z = = 
=3.
Метод Гаусса. Одним из способов решения линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных. Этот метод заключается в преобразовании системы линейных уравнений к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему, а матрицу из коэффициентов и свободных членов. Переход от одной матрицы к другой будем осуществлять при помощи знака эквивалентности «~». Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приведется к треугольной, т.е. к такой, в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное. В случае неопределенной – более одного неизвестного.
|
|
|
Общее решение строят из исходной системы уравнений с помощью элементарных преобразований, под которыми понимается любое из следующих действий:
1) вычеркивание уравнения, у которого все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю;
2) умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;
3) замена 1-го уравнения системы уравнением, которое получается путем прибавления к 1-му уравнению системы ее n -го уравнения, умноженного на число.
Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.
.
Решение:
~ 
~ 
~ 
~ 
Система приведена к треугольному виду. Запишем полученную систему:
Þ 
.
Обратная матрица.
Обратной матрицей А-1 для матрицы А называется матрица, для которой выполняется равенство АА-1= А-1А=Е и которая имеет вид:
А-1 = 
.
Для того, чтобы найти обратную матрицу А-1 для матрицы А, нужно:
· вычислить определитель матрицы А;
· найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А;
· записать обратную матрицу по формуле, обратив внимание, на то, что матрица, составленная из алгебраических дополнений транспонированна;
· сделать проверку, перемножив данную и обратную матрицы. В результате должна получится единичная матрица.
Пример. Дана матрица А= 
. Найти обратную матрицу для данной.
Решение:
Вычислим определитель матрицы А. 
= 27 + 2 – 24 = 5.
Найдем алгебраические дополнения:
; 
= -2; 
= 4
= 1; 
; 
= -1
= -12; 
= 1; 
= 7
