Методы решения систем линейных уравнений

Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными x,y,z

можно найти с помощью формул Крамера.

х = ; y = ; z = ,

где D = , Dx = ; Dу= ;Dz= ,

При D ¹ 0 система имеет единственное решение. Если D = 0,то исходная система либо неопределенная, либо несовместная.

Пример. Решить систему линейных уравнений.

Решение:

D = = 14, Dx= = 14, Dу = = 28, Dz = = 42.

х = = =1; y = = = 2; z = = =3.

Метод Гаусса. Одним из способов решения линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных. Этот метод заключается в преобразовании системы линейных уравнений к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему, а матрицу из коэффициентов и свободных членов. Переход от одной матрицы к другой будем осуществлять при помощи знака эквивалентности «~». Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приведется к треугольной, т.е. к такой, в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное. В случае неопределенной – более одного неизвестного.

Общее решение строят из исходной системы уравнений с помощью элементарных преобразований, под которыми понимается любое из следующих действий:

1) вычеркивание уравнения, у которого все коэффи­циенты при неизвестных и свободный член равны нулю;

2) умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

3) замена 1-го уравнения системы уравнением, которое получается путем прибавления к 1-му уравнению системы ее n -го уравнения, умноженного на число.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

.

Решение:

~ ~ ~ ~

Система приведена к треугольному виду. Запишем полученную систему:

Þ .

Обратная матрица.

Обратной матрицей А^-1 для матрицы А называется матрица, для которой выполняется равенство АА^-1= А^-1А=Е и которая имеет вид:

А^-1 = .

Для того, чтобы найти обратную матрицу А^-1 для матрицы А, нужно:

· вычислить определитель матрицы А;

· найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А;

· записать обратную матрицу по формуле, обратив внимание, на то, что матрица, составленная из алгебраических дополнений транспонированна;

· сделать проверку, перемножив данную и обратную матрицы. В результате должна получится единичная матрица.

Пример. Дана матрица А= . Найти обратную матрицу для данной.

Решение:

Вычислим определитель матрицы А. = 27 + 2 – 24 = 5.

Найдем алгебраические дополнения:

; = -2; = 4

= 1; ; = -1

= -12; = 1; = 7