Неравенство Чебышева и закон больших чисел

Лемма Чебышева. Если случайная величина х, для которой существует математическое ожидание М [ x ], может принимать только неотрицательные значения, то для любого положительного числа a имеет место неравенство

, (1)

Неравенство Чебышева. Если х – случайная величина с математическим ожиданием М [ x ] и дисперсией D [ x ], то для любого положительного e имеет место неравенство

. (2)

Теорема Чебышева. (закон больших чисел). Пусть х ₁, х ₂, …, x_n,… - последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями, ограниченными одной и той же константой с. Тогда для любого положительного числа e имеет место предельное равенство

. (3)

Доказательство теоремы основано на неравенстве

, (4)

вытекающей из неравенства Чебышева. Из теоремы Чебышева как следствие может быть получена

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А, и пусть v_n – случайная величина, равная числу наступлений события А в этих n опытах. Тогда для любого e > 0 имеет место предельное равенство

. (5)

Отметим, что неравенство (4) применительно к условиям теоремы Бернулли дает:

. (6)

Теорему Чебышева можно сформулировать в несколько более общем виде:

Обобщенная теорема Чебышева. Пусть х₁, х₂, …, x_n,… - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M [ x ₁] = m₁, M [ x₂ ] = m₂,… и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной с. Тогда для любого положительного числа e имеет место предельное равенство

. (7)

Пример.

Оцените вероятность того, что при 3600 независимых бросаниях игральной кости число появлений 6 очков будет не меньше 900.

Решение.

Пусть х -число появлений 6 очков при 3600 бросаниях кости. Тогда М [ x ] = 3600 = 600. Воспользуемся теперь неравенством (1) при a = 900: .

Пример.

Оцените вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых бросаниях игральной кости отклонится от вероятности появления шестерки по абсолютной величине меньше чем на 0,01.

Решение.

Используем неравенство (6) при n = 10000, р = , q = . Тогда

Пример.

Вероятность наступления события А в каждом из 1000 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений события А в этих 1000 опытах отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на 50.

Решение.

Пусть х - число наступлений события А в указанных 1000 опытах. Тогда М [ x ] = 1000 × 0,8 = 800 и D [ x ] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Теперь неравенство (2) дает:

Пример.

Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин x_k (k = 1, 2,..., 1000) равна 4. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0,1.