2015-10-22
1645
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Метод трапеций
По условию задачи исходными данными являются пределы интегрирования: a – нижний предел, b – верхний предел; также дано количество интервалов разбиения n.
Допустим, наша подынтегральная функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], тогда разобьем отрезок [a;b] на количество интервалов n длины h точками, находящимися внутри отрезка (такие точки также называются узлами), то есть a = x0<x1<x2<…<xn1<xn= b. В таком случае шаг разбиения находится как
h =  ,
| (1.1) |
узлы определяются из равенства
| xi = a+i·h, | (1.2) |
где xi –i-ый узел;
i = 0, 1, 2,…, n – номер узла.
Теперь рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках [xi-1;xi], где i = 1, 2,…, n (Рис 1.1).
Рисунок 1.1 Метод трапеций
На каждом отрезке [xi-1;xi], i = 1, 2,…, n заменим функцию y = f(x) отрезком прямой проходящей через точки с координатами (xi-1;f(xi-1)) и (xi;f(xi)). В качестве приближенного значения интеграла 
возьмем выражение 
, то есть
| (1.3) |
Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно на рис.1.1, площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями f(xi-1), f(xi) и высотой h.
|
|
|
Теперь воспользуемся одним из свойств определенного интеграла, которое гласит, что если функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем a, b, c принадлежит X, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка
| (1.4) |
Тогда по свойству определенного интеграла, если в формулу 1.3 подставить приближенные значения интегралов, получаем
| (1.5) |
или
| (1.6) |
В результате мы получаем формулу трапеции для определенного интеграла, которая принимает вид
| (1.7) |
Проверим полученную формулу на примере, решив задачу аналитическим и графическим способом.
Пример
– формула трапеции
Для нахождения длины интервала разбиения используем формулу 1.1
h = (b-a)/n = 2/4 =0,5
Далее находим координаты всех узлов по формуле 1.2, и значение функции в этих узлах.
| xi = a+i·h; | f(x) = x2+1; |
| i=0: x0 = 0+0·0,5 = 0; | f(x0) = f(0) = 0+1 = 1; |
| i=1: x1 = 0+1·0,5 = 0,5; | f(x1) = f(0,5) = 0,25+1 = 1,25; |
| i=2: x2 = 0+2·0,5 = 1; | f(x2) = f(1) = 1+1 = 2; |
| i=3: x3 = 0+3·0,5 = 1,5; | f(x3) = f(1,5) = 2,25+1 = 3,25; |
| i=4: x4 = 0+4·0,5 = 2. | f(x4) = f(2) = 4+1 = 5. |
Аналитический способ.
Высчитываем определенный интеграл по формуле 1.7
Графический способ
Для решения задачи графическим способом прежде всего нам необходим график. Для построения графика установим зависимость координат x от y на отрезке от [0;2] и узла от значения функции в узле в виде таблиц.
| i | |||||
| xi | 0,5 | 1,5 | |||
| f(xi) | 1,25 | 3,25 |
| x | |||
| y |
Выберем произвольный масштаб графика, построим оси, отметим полученные точки и соединим их, после разобьем график на элементарные отрезки, соединив ближайшие точки.
|
|
|
| f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(xi) f(xi) f(xi) |
Рис 1.2 Пример метода трапеций
Мы получили множество трапеций. Теперь осталось лишь посчитать их площади и сложить.
Ответ при графическом и аналитическом решении совпал. Следовательно метод верный.
Список условных обозначений к блок-схеме алгоритма вычисления интеграла методом трапеций
· a – нижний предел интегрирования;
· b – верхний предел интегрирования;
· n – количество интервалов разбиения;
· h – высота трапеции;
· x – узел;
· s – сумма оснований;
· I – интеграл.
1.1.3. Блок-схема алгоритма вычисления интеграла методом трапеций
| Конец |
| i = 1, n-1 |
| x = a + i·h |
| I = s·h/2 |
| Вывод I |
| S = S+2·f(x) |
| Начало |
| Программа для вычисления определенного интеграла |
| Введите пределы интегрирования и количество интервалов разбиения |
| a, b, n |
| h = (b-a)/n |
| S = f(a)+f(b) |
| Рис. 1.3. Блок-схема метода трапеций |
| Конец |
| Рис. 1.3 Блок-схема метода трапеций |
