Погрешность численного метода

Погрешность метода решения задачи на ВМ определяется неточностью замены алгебраического, дифференциального или интегрального оператора в исходном уравнении поставленной задачи приближенным (линейным или разностным).

Так, при замене интеграла конечной суммой (точное значение площади под графиком заменяется суммой площадей соответствующих прямоугольников). Чем меньше шаг интегрирования h, тем выше точность вычисления значения интеграла.

Аналогичная ситуация имеет место при замене производной разностным аналогом: погрешность замены производной разностным аналогом уменьшается с уменьшением величины шага h.

Таким образом: при использовании численных методов погрешность решения является регулируемой: при корректном построении разностной аппроксимации исходного уравнения всегда имеется некоторый параметр, варьированием которого можно регулировать величину погрешности получаемого результата.

Но: повышение точности решения модели приводит к ощутимому повышению затрат ресурсов ЭВМ (времени проведения вычислений и оперативной памяти). =>достижение приемлемых затрат ресурсов при получении удовлетворительной точности.

Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах: абсолютная погрешность делится на приближенное значение переменной, поскольку ее точное значение неизвестно.

Погрешности округления чисел в ЭВМ

Округление: операция замены заданного числа другим числом, первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа, а начиная с S+1 разряда содержат нули.

Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд округленного числа, в зависимости от ситуации, может добавляться единица.

Ошибки округления появляются при хранении мантиссы вещественного числа. В представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7 значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8 байт) или 19 (10 байт).

Для всех чисел, представимых в ЭВМ, относительная погрешность одна и та же.

Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность результатов вычисления арифметических операций

при выполнении арифметических операций сложения и вычитания складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности.