Теорема о рациональных корнях многочлена

Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Пусть - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число не является корнем многочлена , в этом случае называется простым корнем многочлена .

2. Число является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к те же рассуждения, придём к выводу: если - корень многочлена , то единственным образом представляется в виде , где . Число в этом случае называется кратностью корня .

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен при имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному, представляется в виде , где . Если , то многочлен имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен степени

при старшем коэффициенте единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где - (попарно различные) корни многочлена, - их кратности, - количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа операция сопряжения не меняет это число: , поэтому

2. Если - корень многочлена , то - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа - корни , то представляется в виде .

4. Если - корень многочлена кратности , то - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

- попарно различные действительные корни этого многочлена, - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней кратностей ) с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами от действительной переменной может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема о рациональных корнях многочлена

Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях, заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:

P (x)=a₀xⁿ +a₁xⁿ^-1+…+a_n-1x +a_n

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a₀ αⁿ+a₁ αⁿ^-1+…+a_n-1 α +a_n=0.

Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a₀ αⁿ^-1 +a₁ αⁿ^-2 +…+a_n-1)+a_n=0, откуда

a_n= -α(a₀ αⁿ^-1 +a₁ αⁿ^-2 +…+a_n-1)

Так как числа a₀, a₁,…a_n-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, a_n делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.

2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ^-1+xⁿ^-2y+…+ xyⁿ^-2+yⁿ^-1)

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a₀bⁿ+a₁bⁿ^-1+…+a_n-1b+a_n)-(a₀cⁿ+a₁cⁿ^-1+…+a_n-1c+a_n)=

=a₀(bⁿ- cⁿ)+a₁(bⁿ^-1-cⁿ^-1)+…+a_n-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α, с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+ +a_n₋₁x+a_n =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена a_n.

Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+ +a_n₋₁x+a_n является x = c, такое, что f (c)=0.

Замечание 3. Если x = c корень многочлена f(x)=a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+ +a_n₋₁x+a_n, то многочлен можно записать в виде: f(x)=(x−c)q(x), где q(x)=b₀xⁿ⁻¹+b₁xⁿ⁻²+ +b_n−2x+b_n−1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+ +a_n₋₁x+a_n, a₀≠0, g(x)=x−c, то при делении f (x) на g (x) частное q(x) имеет вид q(x)=b₀xⁿ⁻¹+b₁xⁿ⁻²+ +b_n−2x+b_n−1, где b₀=a₀,

b_k=c b_k₋₁+a_k, k=1, 2, ,n−1. Остаток r находится по формуле r=c b_n₋₁+a_n

	a₀	a₁	a₂	...	a_n−₁	a_n
x = c	b₀=a₀	b₁=c b₀+a₁	b₂=c b₁+a₂	...	b_n₋₁=c b_n₋₂+a_n₋₁	r=c b_n₋₁+a_n

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b₀=a₀. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример. Решить уравнение x³−x²−8x+12=0

	a0=1	a1=−1	a2=−8	a3=12
x = 1			-8		не корень
x = -1		-2	-6		не корень
x = 2			-6		корень

Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x³−x²−8x+12=(x−2)(x²+x−6)=0 (x−2)²(x+3)=0 x=2;x=-3

Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

Q < 0 — три вещественных корня.
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны: