2015-10-22
2371
9.3.1. Определение рациональных функций и простых дробей. Рациональной функцией называется отношение двух многочленов
.
Здесь и дальше мы снова будем работать только с действительной переменной 
, коэффициенты обоих многочленов - действительные числа, 
, 
. Рациональная функция (дробь) называется правильной, если 
; если 
, рациональная дробь называется неправильной. Любая неправильная дробь может быть представлена в виде сумма многочлена степени 
и правильной дроби: 
, 
; нахождение целой части 
и остатка 
может быть выполнено, например, с помощью процедуры деления "уголком". В дальнейшем будем предполагать, что 
- правильная дробь.
Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов:
I.  ;
| II.  ;
|
III.  ;
| IV.  .
|
9.3.2. Теорема о разложении правильной рациональной функции в сумму простых дробей. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен, согласно утверждению 6 пункта 9.2.3, в виде 
, 
. Тогда дробь единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры
|
|
|
.
Проиллюстрируем представление неправильной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, и разложение правильной дроби на простые на примере. Дана функция 
. Здесь 
, 
. После деления "уголком" получим 
. Согласно теореме, получившаяся правильная дробь должна представляться в виде
, (*) где 
- неизвестные пока коэффициенты ("неопределённые коэффициенты"). Приводим сумму в правой части равенства (*) к общему знаменателю:
= 
. Дроби в правой и левой частях этого равенства равны, так как их знаменатели совпадают, должны быть равны и числители: 
Неопределённые коэффициенты находятся из этого равенства. Так, подставив в него значение 
, получим 
. Если подставить в это равенство корни трёхчлена 
, будут определены 
и 
. Такой приём нахождения неопределённых коэффициентов называют способом частных значений. Другой метод заключается в том, что раскрываются скобки в правой части равенства и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях :
.
Коэффициенты при степенях справа и слева от знака равенства:
Эту систему можно решать любым из известных способов. Воспользуемся правилом Крамера.
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
;
. Окончательно, функция представляется в виде 
. В заключение отметим, что при решении задач целесообразно комбинировать методы частных значений и сравнения коэффициентов при степенях , т.е. исключать коэффициенты, найденные по частным значениям, из системы уравнений.
