2015-10-22
2665
Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество
элементов L, которое само является линейным пространством.
Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число. (все аксиомы выполняются автоматически).
Примеры. 
, множество решений однородной СЛАУ.
Определение 2. Линейной оболочкой системы элементов 
, принадлежащих L, называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов: 
.
Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либо базис этого пространства.
Теорема 1 (основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы , линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.
{Пусть, для определенности, 
а 
произвольный. Тогда
, т.е. 
}
Следствие. Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов:
