Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки

Определение 1. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество

элементов L, которое само является линейным пространством.

Т.е. подпространство замкнуто относительно операций сложения и умножения на число. (все аксиомы выполняются автоматически).

Примеры. , множество решений однородной СЛАУ.

Определение 2. Линейной оболочкой системы элементов , принадлежащих L, называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов: .

Непосредственно из определения следует, что любая линейная оболочка является линейным пространством, а любое линейное пространство – линейной оболочкой натянутой на какой-либо базис этого пространства.

Теорема 1 (основное свойство линейных оболочек). Любой вектор системы , линейно зависящий от остальных, можно исключить без изменения линейной оболочки.

{Пусть, для определенности, а произвольный. Тогда

, т.е. }

Следствие. Размерность линейной оболочки равна рангу соответствующей системы элементов: