Базис. Размерность. Координаты

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):

Примеры. Базис на плоскости (V₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rⁿ (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n - (1,х,х²,…,хⁿ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

(В силу т. 1 это определение – корректно)

Будем писать: .

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

{}

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα₁,…,λα_n). {}

Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dim L) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов.

{Пусть базис пространства L Рассмотрим (n + 1) произвольных элементов Разложим каждый из них по базису { e } и запишем столбцы полученных коэффициентов разложения в виде матрицы A_n_,_n₊₁ _.Т.к. rang A_n_,_n₊₁ ≤ n, то, хотя бы один из столбцов будет линейной комбинацией остальных элементы a_ţ – линейно зависимы