Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов

Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а₁, а₂,…,а_n с коэффициентами λ_k.

Определение 2. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 3. Система элементов линейного пространства {a₁,…,a_n} называется линейно

независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной независимости). a₁,…,a_n – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: { a_k } – л.з.): . Пусть, для определенности, а₁ – линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): }

Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{ }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }

Примеры.

1) 2)

3) {f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x² } – линейно независимы.