Лабораторна робота №5

Оптимальне керування. Принцип максимуму Понтрягіна

Література: [5, с. 421-489], [6, с. 13-85].

Мета роботи: Навчитися застосовувати принцип максимуму Понтрягіна до знаходження оптимального керування динамічними системами.

Зміст роботи: Розв’язати запропоновану задачу пошуку оптимального керування, використовуючи принцип максимуму Понтрягіна. Скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування однією з алгоритмічних мов.

Методичні вказівки

Основна задача. Нехай задана динамічна система

(5.1)

.................

або у векторній формі , з початковою умовою і областю допустимих керувань . Тут – -вимірний вектор, який називають фазовим, а його компоненти – фазовими координатами об’єкта, функції мають частинні похідні ( і неперервні разом з цими похідними за сукупністю своїх аргументів. Шукається таке допустиме керування і відповідна траєкторія системи (5.1), щоб для фіксованого скінченного моменту часу вираз

, (5.2)

де - задані сталі, був мінімальним.

Нехай – вектор-функція з компонентами , яка є розв’язком задачі

, , , (5.3)

або у векторній формі , , де

, , .

Система (5.3) називається приєднаною до системи (5.1).

Функція Гамільтона задач (5.1),(5.2) має вигляд

Тоді динамічна і приєднана системи можуть бути записані через канонічні рівняння

, , .

Теорема. Нехай – розв’язок задачі (5.1),(5.3). Тоді існує функція , яка є розв’язком приєднаної системи (5.3) з відповідною граничною умовою і така, що майже для всіх виконується умова

Якщо необхідно мінімізувати двічі диференційовну за всіма аргументами функцію , то в принципі максимуму Понтрягіна початкові умови для приєднаної системи треба замінити на .

Якщо ставиться задача мінімізації функціоналу , де функція задовольняє ті ж умови, що й , то функція Гамільтона визначається формулою , а приєднана система має вигляд

, , . (5.4)

Приклад 5.1. , , , , , .

Розв’язання. , , , , , тобто . Звідси . Максимум досягається при .

Умови трансверсальності. Часто у задачі (5.1),(5.2) накладаються умови вигляду , , причому вважається, що функції двічі диференційовні по всіх і якобіан має максимальний ранг . Тоді умови , задають у просторі станів деякий гладкий многовид.

Вимагається знайти таке оптимальне керування, яке переводить точку у довільну точку цього многовиду. В цьому випадку кінцеві умови для в принципі максимуму Понтрягіна потрібно замінити умовами трансверсальності

, .

Приклад 5.2. , , , , .

Розв’язання. Маємо , , , , , , , , тобто і . Звідси, максимум функції Гамільтона дає оптимальне керування . Невідомі параметри і потрібно вибрати так, щоб система переводилась у кінцеву точку . Інтегруючи рівняння стану, одержуємо

З умов легко записати лінійні рівняння для знаходження і : , , так що оптимальне керування має вигляд .

Аналогічно одержують умови трасверсальності для початкової точки у випадку, коли не задано, а лише вимагається, щоб ця точка задовольняла систему , . Тоді для приєднаної вектор-функції має виконуватись умова , .

Завдання для самостійної роботи

Розв’язати наведені нижче задачі. Розробити алгоритми і скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування.

1. , , , , .