Определители и системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из двух уравнений первого порядка:

a₁₁ х₁ + a₁₂ х₂ = b₁

a₂₁ х₁ + a₂₂ х₂ = b₂

Выделим из этой системы три определителя: определитель самой системы D= , определитель для первого неизвестного D₁= , определитель для второго неизвестного D₂= . Обратим внимание, что индексы у определителей для неизвестных будут теперь соответствовать номеру неизвестного в системе. Рассмотрим три возможных случая:

1. Определитель системы D 0. Тогда имеем единственное решение х₁ = , х₂ = (формулы Крамера для двух неизвестных).

2. D=D₁=D₂=0. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

3. D=0, но D₁ или D₂, или оба вместе, не равны нулю. В этом случае система несовместна, т.е. не имеет никаких решений.

Совершенно аналогично строятся формулы Крамера для систем более высокого порядка. Так, для трех уравнений:

D= , D₁= , D₂= ,

D₃= .

Тогда, если D 0, то единственное решение определится формулами х_i = (i =1, 2, 3).

Так же, как и при вычислении определителей, формулы Крамера, из-за арифметических трудностей, используются на практике для систем не выше третьего - четвертого порядков.

Матрицы

Определения

Матрицей А называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов, т.е. размерность m n (m, n N). Примеры:

А = = - прямоугольная;

А = - квадратная;

А = - строка (или: матрица-строка); = А = - вектор (или: матрица-столбец); Е = - единичная (всегда квадратная); А _д = - диагональная (тоже всегда квадратная).

Квадратная матрица называется симметричной, если a =a при i j.

Заметим, что матрица качественно отличается от определителя. Матрица - не число, а нераздельное множество чисел, представленное в виде таблицы. Только квадратные матрицы можно связать с определителями, которые в этом случае будут иметь статус некоторой полезной характеристики при операциях с квадратными матрицами.

Матрицы имеют большое практическое значение, т.к. многие объекты и процессы проще всего описывать именно матрицами.