Транспонирование матриц и его свойства

Так же, как в определителях, транспонирование - это замена строк столбцами: если А = , то А = . Приведем основные свойства транспонирования, которые легко доказываются вычислением:

1. Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу: (А ) = А.

2. Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонированных слагаемых: (А+В) =А +В .

3. Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (АВ) = В А .

4. Произведение матрицы на свою транспонированную: А А или АА всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу.

5. Если матрица А - квадратная, то значение ее определителя не зависит от транспонирования: D(A)=D(A ).

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых не равен нулю. Если D=0, то заданная матрица обратной не имеет и называется особенной (или вырожденной).

Матрица А называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство: А А=АА =Е.

Алгоритм вычисления А покажем на примере А = по шагам:

1. Вычисляем определитель D= . Если D=0, то работа прекращается с заключением: А - вырожденная матрица.

2. Вычисляем все адъюнкты матрицы А: А =Ad , A =Ad ,... A =Ad .

3. Из вычисленных адъюнктов составляем союзную (или присоединенную) матрицу А^с = . Обратим внимание, что индексы этой матрицы транспонированы по отношению к исходной матрице А.

4. Вычисляем обратную матрицу А = А^с

5. Если расчет проводится вручную, то выполняется проверка: А А= Е или AA =Е.

Перечислим основные свойства обратной матрицы:

1. D(A )= .

2. (АВ) = В А , т.е. при раскрытии скобок порядок сомножителей меняется на обратный.

3. (А ) =(А ) , т.е. операции обращения и транспонирования можно менять местами.

В заключение отметим, что из-за арифметического объема работы с определителями, использование описанной процедуры ограничивается матрицами второго и третьего порядков.

Матричные уравнения

Любая система линейных уравнений может быть легко переписана в матричной форме: = или А = .

Умножим полученное матричное уравнение на матрицу А слева: А А = А , откуда = А , т.е. при известной матрице А можно получить решение для произвольных значений b в векторе . Относительно привычного нам вектора отметим, что можно решать и самые общие уравнения, в которых неизвестными являются уже не векторы, а матрицы, причем не всегда квадратные: АХ=В Х= А В; ХА=В Х= В А - здесь для получения ответа надо умножить уравнение на А справа.