Систематическое интегрирование

Таким образом, интегрирование по сравнению с дифференцированием - дело гораздо более кропотливое, громоздкое и неоднозначное. На практике нецелесообразно каждый раз, когда встречаются интегралы, проводить громоздкие вычисления. Имеется ряд справочников, в которых в определенном порядке собраны наиболее распространенные интегралы. В частности, указанный в списке литературы справочник М.Я.Выгодского, а также различные сборники, которые, как правило, носят название "Таблицы неопределенных интегралов" или "Таблицы интегралов". Если встретившийся на практике интеграл не содержится, на первый взгляд, в "Таблицах", то с помощью описанных в этой главе методов можно упростить заданный интеграл до такого вида, что можно будет воспользоваться формулами из "Таблиц". Для этого-то и следует овладеть основными методами интегрирования.

Из основных правил дифференцирования следует, что производная произвольной элементарной функции вновь является функцией элементарной. Существенно, что операция нахождения первообразной (неопределенногоинтеграла) таким свойством не обладает, т.е. существуют элементарные функции, первообразные которых элементарными функциями уже не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются " неберущимися " в элементарных функциях, а сами функции - не интегрируемыми в конечном виде. Например, , , , и многие другие – "неберущиеся", т.е. не существует такой элементарной функции , что и т.д.

Все методы интегрирования, рассмотренные выше и применяемые для нахождения интегралов от элементарных функций, вновь приводят к элементарным функциям. Поэтому указанные "неберущиеся" интегралы, по крайней мере, не могут быть взяты с помощью описанных здесь методов. Однако это не означает, что эти интегралы не существуют или их нельзя найти.