Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, если, после преобразований, его можно привести к виду

Такие уравнения решаются обычным интегрированием левой и правой частей. Пример:

.

Таким образом, уравнение свелось к вычислению обычного неопределенного интеграла. Единственным, не слишком существенным отличием, является то, что постоянная С может входить в алгебраические операции как составная часть. Полученное решение, содержащее произвольную постоянную, будет общим решением (общим интегралом) данного уравнения. Рассмотрим, как выглядят частные решения, если поставлены какие-либо дополнительные условия.

1. Пусть известно значение функции в точке х=0 (начальное условие), например, у(0)=3. Подставим в общее решение:

.

2. Пусть известно значение функции в точке х¹0 (граничное условие), например, у(2)=5. Подставим в общее решение:

.

Результат, в котором определено конкретное значение константы С с помощью начального или граничного условия и будет частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения.