Прямокутна декартова система координат

Серед декартових систем найбільш поширеною є прямокутна системої координат.

Розглянемо три взаємно перпендикулярні осі ОХ, ОУ, ОZ із спільним початком в точці О - початком координат. Вісь ОХ називається віссю абсцис, ОУ - вісь ординат, ОZ - вісь аплікат (див. рис. 12,а).

Рис. 12,а

Замість довільних базисних векторів зручніше взяти одиничні вектори , напрямлені відповідно вздовж осей ОХ, ОУ, ОZ. Такивектори називаються ортами, а утворений ними базис називається ортонормованим, . Вектор , який називається радіусом-вектором точки А(х,у,z) в базисі-векторів , має розклад

Очевидно, що довільна точка А(х,у,z) в заданій системі координат одназначно визначається своїм радіусом-вектором , а координати точки є координатами її радіуса-вектора.

Звернемо увагу на такий факт. Якщо у попередніх параграфах під виразом “дано вектор” ми розуміли його графічне (геометричне) зображення, то тепер вираз “дано вектор” потрібно сприймати як задання трійки упорядкованих чисел (х, у, z) – координат вектора.

Якщо раніше лінійні дії над векторами здійснювались графічно, то тепер ці операції можна виконувати аналітично, не користуючись рисунком.

Сформулюємо лінійні дії ще раз (див. 1°-3°, § 2.4).

1°. Щоб додати(відняти) два вектори необхідно додати (відняти) їх відповідні координати, тобто

Приклад. Знайти суму векторів та заданих на площині ХОУ.

Розв’язання. Відповідно до правила 1° маємо

Побудуємо ці вектори: .

Рис. 12,б

З рис. 12, б бачимо, що чотирикутник ОАВС – паралелограм. Координати вектора = =(6, 3) ми спочатку отримали шляхом обчислень (аналітично), без допомоги рисунка. Рисунок тільки підтверджує правило паралелограма при додаванні векторів, тому рисунками надалі користуємось для наочності.

2°. Щоб помножити вектор на число, необхідно кожну з його координат помножити на це число:

= (λх, λу, λz),

Приклад. Дано вектор =(1,-2, 2). Знайти

Розв’язання. Згідно з правилом 2° маємо:

(-2, 4, -4),

Рис. 12, в.

Геометричне зображення див на рис. 12, в.

3°. Два вектори рівні, якщо у них рівні відповідні координати.

(х₁=х₂, у₁=у₂, z₁=z₂).

Приклад. Довести:

1) що вектори = (3, -7, 10) і : рівні, якщо ,

де = (-5, -3, 1) і = (8, -4, 9);

2) що вектор = (8, -4, 7) дорівнює вектору = ,

де = (1, 1, -4), =(-2, 2, -5).

Виконати самостійно. Побудувати вектори , , , . За координатами векторів і та за рисунком упевнитись, що і є діагоналями паралелограма, побудованого на векторах і .