Координати вектора, заданого початковою і кінцевою точками

Нехай вектор , заданий початковою точкою і кінцевою , тоді (рис. 13) можна знайти його координати.

Рис. 13

Дійсно,

Висновок. Щоб знайти кординати вектора , заданого початковою точкою і кінцевою точкою , необхідно від координат його кінця відняти відповідні координати його початку

(1)

Приклади. 1. Знайти координати вектора , якщо (-1,2,3), (2,1,4).

Розв’язання. За формулою (1) маємо

=(2-(-1),1-2,4-3)=(3,-1,1).

Приклад 2. Початок вектора збігається з точкою . Знайти точку , з якою збігається кінець вектора .

Розв’язання. Відповідно до формули (1) для вектора маємо

(3,1,-5) = .

Враховуючи властивість 3^о із 2.4 запишемо

, .

Таким чином знаходимо точку N(1,8,-4).

Приклад 3. Упевнитись, що система векторів утворює базис, та знайти координати вектора в цьому базисі, якщо відомі в прямокутній системі координати цих векторів , , , .

Розв’язання. Згідно означення (див. 2.4) вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто їх лінійна комбінація (де ), тільки тоді, коли .

Перевіримо це, скориставшись властивостями 1^о-3^о із 2.4:

Прирівнюючи відповідні координати, отримуємо систему:

Визначник цієї системи

Всі допоміжні визначники бо в кожному з них є нульовий стовпець із вільних членів однорідної системи. Отже, згідно формул Крамера і, таким чином, вектори - лінійно незалежні, а, значить, утворюють новий базис.

Звернемо увагу, що елементи стовпців визначника збігаються з відповідними координатами векторів .

Висновок. Якщо визначник, утворений з координат векторів , відмінний від нуля, то ці вектори лінійно незалежні, тобто утворюють базис.

Тепер знайдемо координати вектора у базисі , тобто знайдемо числа такі, що виконується рівність