Вариационно-итерационные методы решения СЛАУ

Преимущество данных методов – они не используют никакой дополнительной информации об операторе А, т.е. g₁ и g₂, входящие в оценку g₁Е £ А £ g₂Е и необходимые для выбора t₀ здесь не требуются. Рассмотрим методы минимальных невязок и скорейшего спуска.

1. Метод минимальных невязок.

(4.13)

Для r^k = f – Ax^k получим равенство, умножив обе части равенства (4.13) на матрицу А

.

Меняя знаки и группируя слагаемые соответствующим образом, получаем:

или

Параметр t_k+1, будем выбирать из условия минимума невязки r^k+1 по норме

r^k+1 = r^k - t_k+1 × Ar^k.

Продифференцируем j(t_k+1) по t_k+1, получим

-2(Аr^k, r^k) + 2t_k+1

.

(4.14)

2. Метод скорейшего спуска.

Получается из условия минимума энергетической нормы погрешности где z^k+1 = x^k – x, x – точное решение исходной системы. Поскольку Аz^k = Ax^k – Ax = r^k, и учитывая, что

, получим

Дифференцируя по t_k+1, получим

j¢(t_k+1) = -2(r^k, r^k) + 2t_k+1(Ar^k, r^k), откуда

(4.15)