Каноническая форма итерационных методов

Для исследования сходимости итерационных методов, т.е. установления справедливости равенства где х – точное решение системы (2.1), удобнее записывать эти методы в матричной, а не в координатной форме.

Представим матрицу А в виде суммы трех матриц

А = А^- + D + A⁺, где

- диагональная часть матрицы А.

Очевидно, метод Якоби с использованием введенных обозначений в векторной форме принимает вид

х^k+1 = -D^-1(А⁺ + А^-)х^k + D^-1 × f,

где D^-1 – матрица, обратная к матрице D

Метод Якоби еще можно записать так

D(х^k+1 – x^k) +Ax^k = f.

(4.7)

Аналогичным образом из соотношений (4.6) можно получить представление метода Зейделя в векторной форме

(D + А^-)(х^k+1 – x^k) + Ax^k = f.

(4.8)

Далее мы увидим, что векторные равенства (4.7) и (4.8) являются частными случаями так называемой канонической формы одношаговых (двухслойных) итерационных схем вида

(4.9)

где В – квадратная невырожденная матрица n´n, называемая стабилизатором, t_k+1 – число, называемое итерационным параметром.

Матрица А называется положительно определенной, если скалярное произведение (Ах, х) > 0 для всех ненулевых векторов, или что то же самое (х^Т×, Ах) > 0.

Сформулируем теорему, принадлежащую А.А. Самарскому.

Теорема. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица, t_k+1 º t > 0, и пусть выполнено неравенство для любого ненулевого вектора х из n-мерного пространства.

((В – 0,5tА)х, х) > 0.

Тогда итерационный метод (4.9) сходится, т.е.

Покажем, как использовать данную теорему для доказательства сходимости, например, метода Зейделя.

Сравнивая (4.8) и (4.9) приходим к равенствам

В = D + А^-, t = 1.

Таким образом, если А = А^Т и А – положительно определенная матрица, то при условии выполнения неравенства В – 0,5t А > 0, что является краткой формой записи неравенства относительно скалярных произведений

((В – 0,5t А)х, х) > 0, "x Î Rⁿ,

метод Зейделя сходится.

Заметим, что

В – 0,5t А = В – 0,5 А = D + А^- - 0,5(А⁺ + D + А^-) = = 0,5 × D + 0,5(А^- - А⁺).

(4.10)

Нетрудно проверить, что для любого n-мерного вектора х (х Î Rⁿ)

((A^- - A⁺)x, x) = 0.

(4.11)

C другой стороны, из неравенства (Ах, х) > 0 "x Î Rⁿ вытекает неравенство

(Dх, х) > 0

(4.12)

В самом деле, выберем х = (0, … 0, x_i, 0 … 0) где x_i ¹ 0. Тогда