К точке а на оси ОХ аргумент может приближаться справа (х> ) или (х< ), что обозначает соответственно как х→ +0 или х→ -0. Соответствующие пределы функции называются односторонними. Правосторонний предел обозначают (a+0), левосторонний – (a-0).Если , то функция в точке а непрерывна. В противном случае в точке а функция имеет разрыв.
- разрыв первого рода, если оба односторонних предела в этой точке конечны и не равны, т.е.
Разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке бесконечен или не существует.
Пример 9. Найти разрывы и нарисовать график функции
Решение. Функция определена на всей числовой оси, составлена из элементарных функций и поэтому может иметь разрывы только в точках аналитического задания. Для х=3
;
т.е. при х=3 функция непрерывна.
Для х=4
т.е. при х=4 функция имеет разрыв первого рода со скачком
Рис. 6
Производная
|
|
Производной функцией f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
.
Функции f(x), имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Основные правила дифференцирования.
Производная алгебраической суммы функций
. (1)
Производная произведения двух функций
. (2)
Производная произведения трех функций
. (3)
Производная произведения постоянной на функцию
. (4)
Производная частного (дроби)
. (5)
Частные случаи формулы (5):
; (6)
. (7)
При условии u=x
C'=0, (8)
x'=1, (9)
, где n-любое действительное число, (10а)
, (11a)
, (12a)
, (13a)
, (14a)
, (15a)
, (16a)
При условии
, где n-любое действительное число, (10)
, (11)
, (12)
, (13)
, (14)
, (15)
, (16)
ПРИМЕРЫ:
1) Найти производную следующей функции:
Решение:
2)
Используем формулы (2), (1), (10а), (8), (9), находим
Решение:
3)
Используем формулы (5), (1), (10а), (8), получим
Решение: .
4)
Решение: По формуле производной произведения получим:
.
Найдем производные в каждом из слагаемых и выполним преобразования:
.
Приложения производной к исследованию функций.
Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке a<x<b, если для любых ,принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .
Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке u<x<b, если для любых , имеет место неравенство .
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.
|
|
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной.
Найти производную f '(x).
Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых f '(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x) < 0, от промежутка, в котором f '(x) > 0, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенной критической точкой функция экстремума не имеет.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Исследовать на экстремум следующие функции:
ПРИМЕР:
Решение: Находим . Полагая , получим единственную критическую точку ч=2. Дальнейшие рассуждения представлены в таблице:
x | - | 5/2 | 2<x< |
f '(x) | - | 0 | + |
f(x) | Максимум | ↗ |
|
|
График функции есть
парабола, изображенная на рисунке. Точка минимум (2;-4) является вершиной параболы.
Правила нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной.
Найти производную f '(x).
Найти критические точки данной функции, в которых
f '(x)=0.
Найти вторую производную f ''(x).
Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительный, то – минимум. Если же
вторая производная ровна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
ПРИМЕР:
Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции:
.
Решение: 1) Находим производную: . Решая уравнение , получим критическую точку х=1. Найдем
теперь вторую производную: . Так как вторая производная в критической точке положительна, то при х=1 функция имеет минимум: .
2) Находим . Найдем теперь . Определим знак второй производной в критических точках. Так как , то при х=2 функция имеет максимум; так как , то при х=4 функция имеет минимум. Вычислим значения функции в точках экстремума: .