Найти область сходимости ряда

Решение:

Радиус сходимости R степенного ряда равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует:

Здесь а_n= , a_n+1=

Имеем:

=

Радиус сходимости равен 1. Промежуток сходимости есть (-2-1; -2+1) или (-3; -1).

Внутри этого промежутка ряд сходится, вне его – расходится.

При х=-3 ряд принимает вид:

,

и он расходится согласно интегральному признаку сходимости для положительных рядов, так как каждый член положительного ряда меньше предшествующего и несобственный интеграл расходится, равен ¥:

Следовательно, х=-3 не принадлежит области сходимости данного ряда.

При х=-1 ряд принимает тот же вид:

,

и он расходится согласно интегральному признаку сходимости для положительных рядов.

Следовательно, х=-1 не принадлежит области сходимости данного ряда.

Итак, (-3; -1) - область сходимости данного ряда.

Ответ: (-3; -1).