Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Признаки сравнения:
· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд сходится, то ряд тоже сходится;
· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд расходится, то ряд тоже расходится.
Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .
· если q<1 – ряд сходится;
· если q>1 – ряд расходится;
· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .
· если q<1 – ряд сходится;
· если q>1 – ряд расходится;
· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Интегральный признак: Пусть дан ряд с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f (x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл: и расходиться в случае его расходимости.
|
|
Обобщённый гармонический ряд: :
· сходится при a>1;
· расходится при 0<a£1.
Ряд | Геометрическая прогрессия | Обобщённый гармонический ряд |
Сходится | |q|<1 | a>1 |
Расходится | |q|³1 | 0<a£1 |
Задание 3. Исследовать ряд на сходимость, используя признаки сравнения:
Задание 4. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера:
Применим признак Даламбера для данного положительного ряда: Имеем: Итак, ряд _____________________________. | Итак, ряд _____________________________. |
Задание 5. Исследовать ряд на сходимость по признаку Коши:
Применим признак Коши: Итак, ряд______________________________. | Применим признак Коши: Итак, ряд____________________________. |