Знакопеременный ряд. Признак Лейбница

Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где а_n>0.

Признак Лейбница: Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению. Итак, должны выполняться два условия:

1) ;

2) .

Замечание: остаток такого ряда имеет тот же знак, что и первый отбрасываемый член, и меньше его по абсолютному значению.

Задание 6. Исследовать ряд на сходимость по признаку Лейбница:

Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда.   Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится: Ответ: ряд сходится.	Ответ: ряд _________________.

Степенной ряд.

Сте­пенным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁ (х-х₀) +а₂х² (х-х₀) ²+...+а_пх^п (х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, о или по степеням х - х₀.

Постоянные а₀, a₁,..., а_п,... называются коэффи­циентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, сте­пенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0.

Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

1) степенной ряд может расхо­дится во всех точках, кроме х =0, например,

1¹х¹+2²х²+3³х³+…+ п^пх^п+...,

2) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

3) степенной ряд может сходиться в од­них точках и расходится в других.