2015-10-22
2058
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
, 
.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:
.
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).
Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что 
, следует равенство 
.
Ниже приведена таблица основных табличных интегралов:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
|
|
|
Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем
(
) и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 2. Найти интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем (
) и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 3. Найти интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями (
) и найдем неопределенный интеграл от степени:
Пример 4. Найти интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем (), правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями (, 
), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем
Пример 5. Найти интеграл 
.
Решение. Раскроем скобки по формуле 
и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:
.
Пример 6. Найти интеграл 
.
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой 
и свойствами неопределенного интеграла:
.
Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.
Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.
|
|
|
Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:
1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;
2) найти дифференциал от обеих частей замены;
3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);
4) найти полученный табличный интеграл;
5) сделать обратную замену.
Пример 7. Найти интеграл 
.
Решение. Произведем подстановку 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем
.
Пример 8. Найти интеграл 
.
Решение. Сначала положим 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем
Пример 9. Найти интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
откуда 
. Далее получаем
.
Пример 10. Найти интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем
.
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (
, 
- постоянные):
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Так, при нахождении 
можно использовать формулу 
, где 
. Тогда 
.
