2015-10-22
1863
Здесь используют формулу: 
Пример11. Найти интеграл: 
. Решение: 
Пример12. Найдите интеграл: 
. Решение: 
Пример 13. Найдите интеграл: 
Определенный интеграл.
Понятие определенного интеграла. Пусть функция 
определена на отрезке 
. Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и 
. Разобьем этот отрезок на n частей точками 
. На каждом из частичных отрезков 
(i =1, 2, 3, …, n) возьмем произвольную точку 
и составим сумму:
,
где 
. Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .
Геометрически (рис. 10) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием 
и высотой 
, а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.
Рисунок 10
Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка 
на части получим различные интегральные суммы, а, следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».
Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления 
, ни от того, как выбираются точки .
|
|
|
Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом 
и читается «интеграл от a и b от функции по 
» или, короче, «интеграл от a и b от функции ».
По определению,
.
Число a называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок - отрезком интегрирования.
Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на отрезке.
Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции 
, осью абсцисс и прямыми 
и 
(рис. 10), т.е. 
. В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
.
3. Отрезок интегрировании можно разбивать на части:
, где 
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:
|
|
|
Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница
,
Т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
1) найти неопределенный интеграл от данной функции;
2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;
3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.
Пример 14. Вычислить интеграл 
.
Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:
Пример 15. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:
Пример 16. Вычислить интеграл 
.
Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:
.
Пример 17. Вычислить интеграл 
.
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:
