2015-10-22
2468
Тема 6. Предел последовательности. Предел функции, непрерывность функции.
Задача 1. а) Вычислить предел числовой последовательности
.
Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, поэтому дробь необходимо преобразовать. Сначала используем формулы сокращенного умножения
.
Для того, чтобы избавиться от неопределенности 
поделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, т.е. на 
. Получим, 
.
б) Вычислить предел числовой последовательности 
.
Решение. Для того, чтобы раскрыть неопределенность 
преобразуем общий член последовательности 
умножив и поделив его на выражение, сопряженное выражению в скобках 
Поделив числитель и знаменатель на старшую степень неизвестного, получим 
.
в) Вычислить предел числовой последовательности 
.
Решение. По определению число 
. Преобразуем дробь и получим 
.
Задача 2.
1) Вычислить предел функции 
.
Решение. Используя основные теоремы о пределах видим, что 
и 
. Таким образом выражение 
представляет неопределенность 
при 
. Чтобы раскрыть эту неопределенность числитель и знаменатель дроби разложим на множители, найдя корни многочленов. Уравнение 
имеет корни 
. Уравнение 
имеет корни 
. Тогда 
.
|
|
|
2) Вычислить предел функции 
.
Решение. Так как числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при неограниченном возрастании аргумента, то выражение 
представляет неопределенность . раскроем эту неопределенность поделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменного т.е. на 
. Получим 
.
3) Вычислить предел функции 
.
Решение. Также как в предыдущем случае, неопределенность и раскрываем ее аналогично. 
.
4) Вычислить предел функции 
.
Решение. Выражение 
представляет неопределенность при 
.для того, чтобы раскрыть эту неопределенность преобразуем дробь умножив сначала числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю
. Затем аналогично умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное числителю исходной дроби 
. Выполнив преобразования, вычислим предел, используя основные теоремы о пределах 
.
5) Вычислить предел функции 
.
Решение. Убедимся, что выражение 
представляет неопределенность вида 
. Действительно 
, а 
. Преобразуем основание степени 
, тогда вся степень может быть преобразована следующим образом 
. Продолжим вычисление предела, используя свойство непрерывности функции 
. 
.
5) Вычислить предел функции 
.
Решение. Воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых величин 
при 
. Тогда 
.
Задача 3. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график 
.
Решение. На интервалах 
функция непрерывна, поэтому исследовать ее на непрерывность нужно в точках 
. Вычислим значения функции и ее односторонние пределы в данных точках.
|
|
|
а) В точке 
, 
, 
. Односторонние пределы равны между собой и равны значению функции в данной точке, значит функция в точке 
непрерывна.
б) В точке 
, 
, 
. Односторонние пределы конечны, но не равны между собой, значит, функция в точке 
имеет конечный разрыв (разрыв первого рода).
