Кратные и криволинейные интегралы

Двойные интегралы

1. Общие понятия

Пусть в плоской двумерной плоскости D определена функция двух переменных z=f(x;y). Аналогично одномерному случаю строится n- ая интегральная сумма и предел последовательности интегральных сумм при n→∞ называется двойным интегралом. В прямоугольных координатах двойной интеграл записывается в виде:

Свойства двойного интеграла такие же, как свойства определенного интеграла.

Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию. Рассмотрим два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x=a и x=b (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y=φ₁(x) и y=φ₂(x), φ₁(x)≤φ₂(x), каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке.

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:

, (I)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором х считается постоянной.

2.

(II)

Сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором y считается постоянной.

В более общем случае, область интегрирования разбивается на части вида 1 или вида 2.