На олімпіадах для абітурієнтів

Наведемо приклади завдань, що використовувалися на олімпіадах для абітурієнтів фізичного факультету Запорізького державного університету.

1. Розв’яжіть систему рівнянь і виразіть шукану величину через ті, що стоять у дужках:

а)

Таку систему потрібно навчитися розв’язувати усно, без олівця та паперу. Вона дає можливість відновити в пам’яті вираз для моменту інерції суцільної кулі, маса якої , а радіус . Момент інерції тіла — важливе поняття динаміки обертального руху. Наприклад, кінетична енергія тіла, яке обертається навколо осі з кутовою швидкістю , обчислюється за формулою . Зміст перших двох рівнянь очевидний, а останні два можуть вимагати деяких пояснень. Третє рівняння дає можливість обчислити момент інерції суцільної кулі відносно її центру: , де — відстань від центру кулі до диференціально малої її частинки масою , а інтегрування ведеться за всім об’ємом кулі. Сам момент інерції відносно точки не має фізичного змісту. До фізичних формул входить момент інерції тіла відносно осі. Він визначається як , але під тут розуміють відстань до осі, а не до точки. Легко довести теорему, що , де , , — моменти інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, котрі проходять через точку, відносно якої момент інерції дорівнює . У нашому випадку , де — момент інерції відносно будь-якої осі, яка проходить через центр кулі. Звідси і взялося четверте рівняння в розглядуваній системі. Теорема, про яку ми згадали, допомагає у багатьох випадках скоротити обчислення.

Формально для розв’язування запропонованої системи не потрібно знати, звідки взялися рівняння, але ці знання надають осмисленості діяльності з виконання завдання. Крім того, може виникнути бажання самостійно довести згадану нами теорему, або зрозуміти, як інтеграл у конкретному випадку перетворився в той, що записаний у третьому рівнянні системи. Сам же процес розв’язування системи дуже простий. Обчислення інтегралу з третього рівняння дає , а після замін з використанням перших двох рівнянь . З урахуванням четвертого рівняння системи остаточно отримуємо вираз для моменту інерції суцільної кулі відносно осі, яка проходить через її центр: .

б)

Якщо звернути увагу на те, що , то відповідь можна записати відразу: . На жаль, як показує досвід, далеко не всі абітурієнти звертають увагу на подібні речі. У результаті — вправа залишається не виконаною, або відповідь наводиться у вигляді: . Хоча формально така відповідь правильна, але вона свідчить не на користь абітурієнта.

в)

Легко отримати залежність сили від часу . Для цього треба знайти другу похідну від за часом, а потім помножити її на :

;

;

.

А ось отримання виразу для сили через швидкість викликає у помітної частини абітурієнтів не дуже зрозумілі труднощі. Хоча залишається тільки замінити на . Отже, .

г)

Це система рівнянь для знаходження сили натягу нитки довжиною , на якій висить маленьке тіло масою , після надання цьому тілу горизонтальної швидкості. Вважається відомим, що максимальний кут відхилення нитки від вертикального положення становив . Перше рівняння відбиває закон збереження механічної енергії: початкова кінетична енергія тіла повністю переходить в потенціальну енергію при максимальному куті відхилення нитки. Друге рівняння показує, як геометрично пов’язана висота підйому тіла з кутом відхилення нитки через її довжину . Останнє рівняння — запис другого закону Ньютона для початкового моменту, коли нитка вертикальна, а швидкість тіла спрямована горизонтально. Доцентрове прискорення і сила натягу спрямовані вгору, а сила тяжіння — вниз. Підстановка з другого рівняння в перше дає змогу отримати вираз для , який і треба підставити в останнє рівняння системи. Звідки остаточно маємо: .

д)

Це дуже проста вправа. Але бувають випадки, коли і з нею не можуть упоратися абітурієнти.

Перше рівняння в системі — це так зване основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії, яке дозволяє виразити макропараметр (тиск ідеального газу) через мікропараметри: концентрацію молекул , масу однієї молекули та середньоквадратичну швидкість молекул . А друге рівняння в системі — це вираз для через абсолютну (термодинамічну) температуру і масу молекули. Буквою позначена стала Больцмана. Використовуючи вираз для з другого рівняння, отримаємо , звідки .

2. Координата матеріальної точки масою змінюється за законом:

.

а) Як залежить від часу швидкість матеріальної точки?

б) Як залежить від часу прискорення матеріальної точки?

в) Як залежить від координати сила , що діє на матеріальну точку?

г) Яка початкова координата матеріальної точки ?

д) Яка початкова швидкість матеріальної точки ?

а) .

Іноді абітурієнти запитують: “Тут косинус добутку і , чи добуток і косинуса ?” Таке питання свідчить про те, що його автори не розуміють фізичного змісту формули і намагаються формально виконати вправу. Зрозумівши, що — коефіцієнт жорсткості пружини, — маса тягарця, а — час, вже легко встановити (навіть, якщо не пам’ятати, що — циклічна частота коливань пружинного маятника), що — розмірна величина. А ось — безрозмірна. Для косинуса аргументом може бути тільки величина, яка не має розмірності.

б) .

в) .

Але нам потрібно з’ясувати, як залежить від . Для цього з вихідного виразу для знайдемо, що . Таким чином, .

г) Початкова координата .

д) Початкова швидкість .

На запитання цієї вправи можна було відповісти дуже швидко, збагнувши, що вихідна формула описує коливання тягарця на пружині у полі тяжіння, причому в початковий момент пружина була не розтягнутою, а тягарець нерухомим.

3. При яких значеннях аргументу функція набуває максимальної величини? (Вважайте параметри додатними).

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , .

а) Скориставшись формулою з тригонометрії , отримуємо . Тепер легко уявити собі графік функції (див. рис. 11).

З урахуванням вимоги для значень , при яких функція набуває максимальної величини, отримуємо: , Можна записати і так: , .

Зрозуміло, що досліджувана функція давала залежність від часу потужності джоулева тепла, що виділяється на резисторі з опором при проходженні змінного струму, якщо .

б) Ця формула (, )показує, як змінюється заряд на конденсаторі ємності при його розрядженні через резистор з опором . Тому максимальне значення буде при . Якщо навіть не знати фізичного змісту цієї формули, то легко уявити собі графік функції (див. рис. 12).

в) З урахуванням того, що , можна уявити собі графік функції , (див. рис. 13).

Оскільки , відповідь може бути записана так: , .

г) Ця формула (, )описує траєкторію тіла, кинутого з початковою швидкістю під кутом до горизонту з точки з координатами . Її легко отримати з очевидної системи рівнянь:

Графік — це квадратична парабола, гілки якої спрямовані вниз (рис. 14).

Можна знайти шукане значення , при якому набуває максимальної величини, прирівнюючи до нуля похідну : . Тут ми скористалися тригонометричною формулою . Можна було знайти “дальність польоту” , прирівнюючи до нуля і відкидаючи корінь . А потім, скориставшись симетрією квадратичної параболи, остаточно отримати .

Наведемо ще один варіант виконання вправи (фізичний!). Час підйому тіла визначається як час, за який вертикальна складова швидкості зменшиться від до нуля. Зрозуміло, що такий час дорівнює . У горизонтальному напрямку тіло рухається зі сталою швидкістю . Отже, .

д) Ця формула (, ) дає залежність потужності джоулева тепла, що виділяється на резисторі, від його опору . Джерело електричного струму характеризується значенням електрорушійної сили і внутрішнім опором . Якщо , то . Тобто при малих значеннях потужність зростає майже пропорційно . При апроксимуючою (наближеною) функцією є , тобто потужність спадає обернено пропорційно при великих значеннях . Таким чином, можна очікувати максимум функції при деякому додатному значенні . Графік досліджуваної функції повинен мати вигляд такий, як на рис. 15.

Звичайно, можна знайти , при якому набуває максимального значення, прирівнявши до нуля похідну . Але можна піти іншим шляхом. Зрозуміло, що має максимум при тому самому значенні , при якому має мінімум функція . А вона, у свою чергу, має мінімум при тому самому , що і функція . Тут треба згадати знайому з уроків математики нерівність, яка виконується для додатних значень : , причому рівність досягається при . Ця нерівність легко доводиться, виходячи з нерівності . У застосуванні до нашого випадку маємо , тобто . Максимальна потужність джоулева тепла буде виділятися на резисторі, якщо його опір буде дорівнювати внутрішньому опору джерела струму.

Існує інший шлях знайдення , що не використовує поняття похідної. Для цього спочатку треба знайти силу струму, при якій потужність джоулева тепла, що виділяється у резисторі, буде максимальною. Зрозуміло, що сила струму за законом Ома: . Переходячи до нової змінної ( замість ), отримуємо: Легко бачити, що – квадратична функція, нулі якої і , а графік – квадратична парабола, гілки якої спрямовані вниз. Максимум буде досягатися при . А для того, щоб сила струму мала таке значення, опір резистора повинен дорівнювати внутрішньому опору джерела струму.

5. Ідеальний газ розширюється від об’єму до так, що тиск змінюється за законом . Знайдіть:

1) Значення величини , при якому температура максимальна; 2) значення ; 3) роботу, що виконав газ у відносних одиницях ().

Побудуйте графіки процесу у координатах:

4) ; 5) .

Коментар. 1) За умовою газ є ідеальним, тоді для нього виконується закон Клапейрона-Менделєєва: . Враховуючи даний в умові закон зміни тиску , отримаємо, що . Звідси маємо залежність , яка є квадратичною функцією. Одним із способів знаходження максимуму даної функції є прирівнювання похідної до нуля. Маємо: . Отже, максимальне значення температура набуває, коли , або .

А можна скористатися тим, що нулі отриманої квадратичної функції – і . Відповідно, максимальне значення функція набуватиме при , тобто .

2) Використовуючи результат, отриманий у попередньому пункті, отримаємо значення :

.

Тоді шукана величина .

3) Робота, яку виконав газ в описаному процесі, визначається формулою . Розкриваючи дужки і розбиваючи отриманий інтеграл на два, отримаємо: . Перший інтеграл обчислюється дуже просто: . Другий інтеграл теж відноситься до розряду табличних: . Підставляючи отримані значення у вихідну формулу, отримаємо наступний результат: . Тоді робота, що виконав газ (у відносних одиницях), дорівнює .

Враховуючи, що – лінійна функція, можна було обійтися без інтегралів. За геометричним змістом робота – площа під графіком , тобто площа трапеції з висотою і середньою лінією:

.

Отже,

4) Залежність є лінійною, отже графіком залежності буде пряма, рівняння якої . Знайдемо дві точки, що належать даній прямій. За умови або (початкове значення об’єму) маємо . За умови або (кінцеве значення об’єму) маємо . Пряма, що з’єднує ці дві точки і є графіком процесу в координатах (див. рис. 16).

5) З першого пункту даного завдання отримаємо, що . Тоді . Залежність є квадратичною, отже її графіком буде парабола (див. рис. 17).

Максимальне значення (як ми вже визначили у другому пункті) досягається при і дорівнює . За умови маємо: ; при маємо: . Парабола, яка зображена на рисунку, і є графіком процесу в координатах .

6. Заповніть пропуски у твердженнях, що наведені після рисунків:

1	2	3
4	5	6
7	8
9	10

1) Залежність при деяких ненульових значеннях параметрів графічно подана на рис. ____. 2) Початкова координата ___0. 3) Початкова швидкість ___0. 4) Прискорення ___0. 5) Враховуючи, що , маємо =_________. 6) Графік поданий на рис. ____.

7) Максимальне значення досягається при ______.

8) Максимальне значення ____________. 9) При ___________________, координата . 10) Дотична до графіка в точці (0; ) задається формулою _________.

Коментар. 1. Залежність є квадратичною, тому її графіком є квадратична парабола, яка при деяких ненульових значеннях параметрів представлена на рис. 3.

2. Початкова координата , як видно з рис. 3.

3. На початку руху координата зростає (див. рис. 3). Це означає, що проекція початкової швидкості на вісь додатна ().

4. Гілки квадратичної параболи спрямовані вниз. Це означає, що коефіцієнт перед від’ємний, тобто .

5. Проекція швидкості на вісь дорівнює похідній координати за часом: .

6. Функція є лінійною. Отже, її графіком буде пряма. Враховуючи, що , обираємо рис. 10.

7. Максимальне значення досягається тоді, коли . Дійсно, при координата буде зростати, а при буде спадати. Таким чином, знаходиться з рівняння . Звідки .

8. Максимальне значення координати можна знайти, підставивши вираз для у вихідну формулу для . Але існують й інші можливості. Наприклад, оскільки координата зростала у той час, коли проекція швидкості зменшувалася за лінійним законом від до нуля, . Враховуючи значення і , отримуємо: . Нагадаємо, що , тому, як і треба було очікувати, .

9. Щоб знайти , треба розв’язати квадратичне рівняння і з отриманих коренів взяти додатний.

.

Знак перед радикалом (позначкою квадратного кореня) обраний з урахуванням того, що .

10. Дотична до графіка в точці (0; ) є графіком рівномірного руху з початковою координатою та швидкістю, що співпадає з початковою швидкістю розглядуваного рівноприскореного руху. Нагадаємо, що фізичний зміст похідної від функції полягає у тому, що вона є швидкістю зростання функції, а її геометричний зміст — у тому, що вона є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції. Таким чином, .

7. Впишіть термін за аналогією:

1) сила — потенціальна енергія

напруженість електричного поля — ____________

2) потужність — робота

сила струму — ______________

3) координата — заряд

швидкість — ______________

4) маса — індуктивність

імпульс — ________________

5) напруга — вольтметр

тиск — _________________

Коментар. 1) Потенціал електричного поля так само пов’язаний з напруженістю електричного поля , як потенціальна енергія — з силою . Ці характеристики електричного поля вводяться таким чином, щоб для пробного точкового заряду його потенціальна енергія в електричному полі й сила, що на нього діє, обчислювалися за формулами: і . Звернемо увагу на те, що для знаходження вірної відповіді ми не встановлювали, як саме пов’язані і , або і відповідно. Щоб у загальному випадку записати зв’язок між напруженістю електричного поля і потенціалом , треба використати математичні поняття, які виходять за рамки шкільної програми. Отже, і в університеті буде чим зайнятися!

2) Потужність (мається на увазі механічна) — це швидкість виконання роботи, а сила струму (мається на увазі електричного) – це швидкість протікання електричного заряду через переріз провідника. Зверніть увагу на одиниці вимірювання: Вт=Дж/с, А=Кл/с.

3) Якщо координаті ставиться у відповідність заряд, то швидкості (у кінематичному розумінні) доречно поставити у відповідність силу струму. А на якій же підставі координаті ставиться у відповідність заряд? Тут треба згадати про аналогію, яку вивчали за шкільною програмою, між коливаннями координати тягарця масою на пружині з коефіцієнтом жорсткості і коливаннями величини заряду на конденсаторі ємністю в електричному контурі, до якого крім конденсатора входить соленоїд з індуктивністю . У першому випадку відповідне диференціальне рівняння, що описує процес, має вигляд:

.

А у випадку контуру рівняння, з математичної точки зору, таке саме:

.

Як бачимо, у другому рівнянні відіграє таку ж роль, що і в першому. Якщо ж взяти від цих функцій похідні за часом, то отримаємо відповідно силу струму і швидкість (у кінематичному розумінні).

4) Після того, як ми згадали аналогію між диференціальними рівняннями, що описують коливання координати і заряду , то зв’язок між масою та індуктивністю стає очевидним. До речі, аналогом коефіцієнта жорсткості буде величина обернена до ємності, тобто . Тепер згадаємо, що імпульс (або кількість руху) (позначки векторів писати не будемо). Якщо замінити на , а на , то отримуємо , а це — магнітний потік (мова йде про власне магнітне поле соленоїда).

5) Вольтметром вимірюють електричну напругу, а тиск вимірюють, наприклад, манометром. Назви інших приладів для вимірювання тиску також приймалися як правильні відповіді.