У підручнику з фізики

Перш за все розглянемо завдання для абітурієнтів, які вирішили навчатися на заочному відділенні фізичного факультету Запорізького державного університету. На перший погляд ці завдання здаються нескладними і не потребують додаткових роз’яснень. Подібними вправам не приділяють значної уваги у шкільних підручниках з фізики, бо вони вважаються надто простими. Але досвід показує, що часто-густо з виконанням таких завдань виникають проблеми і у студентів денного відділення.

1. Як зміняться сили гравітаційної взаємодії F двох матеріальних точок, якщо відстань між ними R зменшиться у 2 рази? Примітка: .

Наведена формула виражає закон всесвітнього тяжіння, відкритий Ньютоном. Буквою позначена гравітаційна стала, числове значення якої можна знайти у довіднику з фізики або в додатках до збірників фізичних задач. Але для виконання запропонованої вправи нам потрібно тільки знати, що — це стала, яка від (тобто відстані між матеріальними точками) не залежить. Маси матеріальних точок позначені як і . Вони також не залежать від . Таким чином, можна сказати, що сила взаємодії обернено пропорційна квадрату відстані. Це записується так: ~ або , де — коефіцієнт пропорційності. У нашому випадку .

Що таке квадрат якоїсь величини, наприклад, відстані? І як він змінюється, коли сама величина зменшується в 2 рази або збільшується, наприклад, у 3 рази?

Квадрат величини (або, іншими словами, другий степінь) — це результат, який ми отримуємо, помноживши її саму на себе. У нашому випадку . Наприклад, якщо , то . Як змінюється при зростанні ? Це питання схоже з таким: як змінюється величина при зростанні , якщо ? Кажуть, що при додатних (тобто ) змінна зростає за квадратичним законом. А щоб це уявити, треба побудувати квадратичну параболу, яку вивчали на уроках математики (рис. 1).

Важливо пам’ятати, що вимірюється в одиницях довжини, наприклад, у метрах, а – в одиницях площі, наприклад, у квадратних метрах. Слід також розуміти, що відстань є додатною величиною, тоді графік залежності від буде виглядати, як на рис. 2.

У математиці можна поставити таке питання: при яких виконується нерівність ? Але не можна ставити подібне питання стосовно , якщо — відстань. Воно було б безглуздим, бо не можна порівнювати величини, одна з яких вимірюється в метрах, а інша — у квадратних метрах. Що більше: відстань від Запоріжжя до Києва чи площа України?! Як би Ви подивилися на ту людину, яка б задала таке питання? А ось абітурієнти, які вважають, що , якщо , зустрічаються, на жаль, досить часто.

Повертаючись до питання про те, як змінюється при зміні , ми вже сміливо можемо сказати, що збільшується при збільшенні (а також, що зменшується зі зменшенням ), бо є монотонно зростаючою функцією при додатних . А у скільки разів збільшується при збільшенні ? Щоб отримати відповідь на це питання, треба знати квадрат (тобто другий степінь) того числа, в яке збільшилася відстань . Якщо збільшується в 3 рази, то збільшиться в 9 разів. Зі зменшенням аналогічно: якщо зменшується вдвічі, то зменшиться в 4 рази.

Уявити все це можна не тільки завдяки графікам. Другий степінь недарма називається квадратом. Подивіться на рис. 3 і 4. Якщо вважати довжиною сторони квадрата, то буде площею цього квадрата. На рис. 3 показаний випадок, коли збільшили в 3 рази: від до . Легко бачити, що площа при цьому збільшилася в 9 разів. А на рис. 4 показано, як зменшили вдвічі: від до . При цьому площа квадрата (відповідно і ) зменшилася в 4 рази.

Зробимо зауваження щодо використання словосполучень “ збільшити в разів” та “ зменшити в разів”. По-перше, так говорять тільки у тому випадку, коли йдеться про додатні величини. Можна сказати, що відстань збільшилася у 6 разів, але не можна говорити, що координата збільшилася у 6 разів (принаймні, коли вона від’ємна). Дійсно, якщо початкова координата , то координата . Таким чином, . Якщо ж , то . Відповідно, . Як бачимо, помноживши початкову координату в обох випадках на однакове число, отримуємо одного разу зменшення координати, а в іншому — збільшення (рис. 5). Таких непорозумінь не буде, коли збільшують або зменшують додатну величину.

По-друге, у словосполученнях “збільшити в разів” та “зменшити в разів” величина . Не кажуть “збільшити в 0,5 раза”, бо фактично це б означало “зменшити в 2 рази”.

Тепер звернемося до словосполучення обернено пропорційно і порівняємо зі словосполученням прямо пропорційно або, як іноді скорочено кажуть, пропорційно.

Пропорційність відноситься до найпростіших видів функціональних залежностей. Розрізняють пряму і обернену пропорційність. Дві змінні величини називають прямо пропорційними (або просто пропорційними), якщо відношення їх не змінюється, тобто при множенні однієї з них на будь-яке число друга множиться на те саме число. Пряма пропорційність між двома змінними величинами аналітично виражається формулою: , де число називають коефіцієнтом пропорційності. Пряма пропорційність між двома величинами графічно виражається прямою лінією, що проходить через початок координат і має кутовий коефіцієнт (рис. 6). Упевніться в цьому самостійно!

Змінні величини і називають обернено пропорційними, якщо одна з них пропорційна оберненому значенню іншої, тобто або . Можна сказати і так: змінні величини називають обернено пропорційними, якщо їхній добуток залишається сталим (, де , , , … — деякі значення змінної , а , , , … — відповідні їм значення величини ), тобто при множенні однієї зі змінних на будь-яке число друга ділиться на те саме число. Обернена пропорційність графічно виражається гіперболою, для якої асимптотами слугують вісі координат (рис. 7). Упевніться в цьому самостійно!

Звернемо увагу на те, що коефіцієнт пропорційності (як прямої, так і оберненої) може бути і від’ємним. У цьому випадку графіки функцій і будуть розташовуватися у другому і четвертому квадрантах, а не в першому і третьому (як на рис. 6 і 7).

Якщо ми кажемо, що якась величина збільшується пропорційно іншій або зменшується обернено пропорційно, то вважаємо коефіцієнт пропорційності та самі величини додатними. А ось словосполучення “ змінюється пропорційно” та “ змінюється обернено пропорційно” можна використовувати і при від’ємному коефіцієнті ().

Повертаючись до нашої вихідної вправи, тепер легко побудувати ланцюжок умовиводів:

• якщо R зменшиться у 2 рази, то також зменшиться, але у 4 рази;

• якщо зменшиться у 4 рази, то навпаки збільшиться у 4 рази, оскільки сила гравітаційної взаємодії двох точкових мас обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

Ми вільно використовували слова “збільшується” і “зменшується”, бо коефіцієнт оберненої пропорційності додатний: (як добуток додатних величин).

Звернемо увагу на те, що вправу можна було виконати формально:

Це й означає, що сила збільшується у 4 рази. Але, якщо треба швидко отримати відповідь, то писати таку систему рівнянь, а потім її розв’язувати, мабуть, не кращий шлях. Треба навчитися уявляти собі функціональні залежності. Це дозволить виконувати подібні вправи в думці за лічені секунди. Якщо ж цьому не навчитися, то дійсно цікаві фізичні задачі ніколи не стануть для Вас доступними.

Все ж таки, якщо комусь до вподоби формальний шлях, або вимагається записати розв’язок, то краще одразу замінити на . Тоді система стає “прозорішою” і виглядатиме так:

“Поділивши” друге рівняння на перше, отримуємо А відношення до за умовою дорівнює 2 (див. останнє рівняння системи). Таким чином, Звідки

Ми не випадково так докладно зупинилися на цій примітивній (тобто дуже простій) вправі. Щоб навчитися виконувати подібні вправи швидко та в думці, важливо “відчути” ті поняття, які ми згадували, пояснюючи цю вправу, а не зазубрювати їхні означення. А для цього потрібен певний час і установка на усвідомлення, а не на зубрячку. Здається, що швидше запам’ятати кінцевий алгоритм виконання вправи певного типу і на цьому заспокоїтися. Але, виявляється, що через деякий час алгоритми виконання різних типів вправ переплутуються, якщо вони не “відчуті”. І тоді можна робити грубі помилки, не помічаючи цього. А це ще гірше, ніж зовсім не розв’язати задачу. Більше того, залишається впевненість, що все робиш правильно, за добре завченим алгоритмом.

Таким чином, головне правило: не заучувати алгоритмів! Хочеться сказати, що кращий алгоритм — це власний алгоритм, хоча він може виявитися менш раціональним або не таким узагальненим, ніж той, що можна знайти у підручнику або узнати безпосередньо від інших людей.

Але тут треба звернути увагу на те, що у людей, на відміну від тварин, навчання йде в першу чергу як привласнення чужого досвіду. А таке привласнення може відбутися тільки завдяки власній активності, яка спрямована на усвідомлення, а не на механічне запам’ятовування. Щоб привласнити досвід, накопичений людством, треба пропустити його через себе. Проте набуття досвіду самостійного створення алгоритму виконання певної дії помітно відрізняється від усвідомлення й привласнення алгоритму, який розробив хтось іншій. Самостійне створення дає впевненість у власних силах. Зникає страх забути завчений алгоритм. З’являється відчуття вільного володіння певним навчальним матеріалом. А також зникає боязнь нових, незнайомих задач. У сучасних умовах це особливо важливо, бо кількість людей, яким доводиться розв’язувати нові задачі, невпинно зростає, причому стрімкими темпами. Крім того, це набагато цікавіше, ніж механічно повторювати завчені дії.

Чи не забагато для першої вправи ліричних відступів? Але перед тим, як перейти до другої, спробуйте зробити рефлексію своєї діяльності, яку Ви виконували під час читання великого за обсягом пояснювального тексту до такої простої вправи.

В енциклопедичному словнику можна знайти, що слово рефлексія походить від пізньолатинського reflexio — повернення назад, а означає роздуми, самоспостереження, самопізнання. У філософському розумінні рефлексія — це форма теоретичної діяльності людини, спрямована на осмислення своїх власних дій та їхніх законів. Чи було в цьому тексті для Вас щось нове, або таке, що Ви знали, але забули? Чи все було зрозумілим? Чи пам’ятали Ви, що таке кутовий коефіцієнт, квадрант, асимптоти? А якщо ні, то чи згадали це, читаючи наш текст, в якому означення цим термінам не даються, але можна здогадатися, про що йде мова? Чи відчуваєте Ви різницю між прийменниками в (у) і на, які використовують під час порівняння двох значень величини (яке з них більше)? Зауважимо, що в розглянутій вправі на питання “ Як зміниться...?” можна сказати тільки збільшиться або зменшиться та у скільки разів. А як треба змінити умову завдання, щоб можна було спитати про те, на скільки...?

Для виконання нашої першої вправи формально не потрібно було знати, що таке матеріальна точка. Але тим, хто збирається вчитися на фізичному факультеті університету, не завадило б це знати. Чи можна, наприклад, обчислювати силу гравітаційної взаємодії між яблуком і Землею за наведеною в умові вправи формулою? Треба навчитися ставити собі подібні запитання і шукати відповіді на них.

Якщо у Вас були проблеми з вправами такого типу, як ми зараз розібрали, не забудьте звернутися до додатків, які містяться наприкінці посібника, знайти подібні вправи і потренуватися.

2. Як треба змінити відстань від точкового заряду r, щоб напруженість електричного поля зменшилася у 2 рази? Примітка: .

Напруженість електричного поля, яке створює точковий заряд, спадає обернено пропорційно квадрату відстані від нього: , або , де — коефіцієнт пропорційності. Щоб напруженість зменшилася в 2 рази, квадрат відстані від точкового заряду треба збільшити в 2 рази, а саму відстань , відповідно, треба збільшити в разів.

Якщо треба навести формальний розв’язок, то це можна зробити так:

Така відповідь і означає, що відстань треба збільшити в разів.

Можна записати і коротше: щоб зменшити в два рази, треба збільшити в разів.

Хочеться дописати: “…бо відстань обернено пропорційна кореню квадратному з напруженості”. Але краще цього не робити. Хоча формально можна розглядати як функцію : , але реально ми можемо змінювати тільки , наближаючись або віддаляючись від точкового заряду і фіксуючи при цьому зміну напруженості електричного поля.

У деяких абітурієнтів виникає якийсь психологічний бар’єр, коли треба записати число, використовуючи знак квадратного кореня. Якщо цю ж саму вправу задати, замінивши 2 на 100 або 25, то відповідають правильно: відстань треба збільшити в 10 або, відповідно, в 5 разів. А ось коли стоїть 2 (або 3 чи 5), корінь квадратний з якого не буде цілим числом, виникає цей психологічний бар’єр. Навіть після того, як вони правильно виконали вправу з числами 100 або 25, бажання отримати відповідь у вигляді цілого або хоча б раціонального числа у таких абітурієнтів призводить до того, що вони замість кажуть 4 або 1/2.

У зв’язку з таким експериментальним фактом, ми вимушені зробити відступ щодо використання поняття обернена функція в математиці та фізиці. При цьому треба звернути особливу увагу на відміну значення першого слова у словосполученнях “ обернена пропорціональність”, а також “ обернене значення змінної”, які ми використовували при розгляді попередньої вправи, від значення цього слова у словосполученні “ обернена функція”.

Розглянемо такий приклад. Площа квадрата зі стороною, довжина якої , обчислюється за формулою . Ця формула задає функціональну залежність від . У цьому розумінні, функція — це правило, за яким можна зі значень однієї величини () дістати значення іншої (), яка пов’язана з першою. Правило, про яке йдеться у нашому прикладі, можна сформулювати такими словами: піднесіть значення до квадрата (або, іншими словами, до другого степеня). Як виконати цю дію? Це питання ми вже розглядали в першій вправі.

А як знайти довжину сторони квадрата , якщо відома його площа ? Тут потрібне своє правило або, іншими словами, своя функція, яку вважають оберненою до функції піднесення до квадрата і називають функцією добування квадратного кореня. Символічно це записується таким чином: . А як виконати операцію добування квадратного кореня? Фактично нам потрібно підібрати таке значення величини , щоб у квадраті воно давало близьке до заданого значення . Користуючись тим, що зростає з ростом , можна організувати процедуру послідовних наближень, яка дозволила б нам отримати значення за відомими значеннями з необхідною точністю. Але у наш час подібні процедури запрограмовані навіть у найпростіших калькуляторах, і нам достатньо після набору заданого значення натиснути відповідну клавішу (), щоб отримати значення .

Іноді на екзаменах дозволяють залишати відповідь із знаком радикала (тобто квадратного кореня), не обчислюючи наближене значення за допомогою калькулятора. Так, у нашій вправі вірною вважалася відповідь “збільшити в разів”. Щоправда, ми і наближене значення не розглядали як помилку.

Розглядаючи поняття оберненої функції, ми писали рівність , яка є наслідком вихідного рівняння .

А як у математиці? Там функція вважається оберненою до , хоча рівність не випливає з . У чому справа?

Коли говорять про функцію, виділяють аргумент функції і значення функції. Функція задає правило, за яким можна кожному значенню аргументу поставити у відповідність значення функції. Для найпростіших правил (функцій) існують спеціальні символи, які їх скорочено позначають, наприклад: , , . У математиці склалася традиція для позначення аргументу функції використовувати букву , а для позначення значення функції — букву . Тому, коли йдеться про конкретні функції пишуть , , , а не так як ми писали вище. Іноді навіть більш розгорнуто: , , . Сенс у цій традиції, безумовно, є. Розглянемо такі функції: , , . На відміну від попередніх прикладів знак аргументу () не займає місця після знаку функції (як у випадку , , ,...), і тому виділити символ самої функції, відірвавши його від позначення аргументу, досить важко. Але все ж таки необхідно пам’ятати, що в математичному записі функції добування квадратного кореня букви і фактично тільки фіксують місце, куди треба вписувати відповідні величини конкретної задачі, а сама функція (тобто правило, за яким із аргументу отримуємо значення функції) умовно позначається знаком радикалу (квадратного кореня).

Часто символи конкретних взаємообернених функцій мало чим схожі. Порівняйте: і ; і . Щоправда, обернені тригонометричні функції позначаються одноманітно і так, що простежується зв’язок із вихідними тригонометричними функціями: , , ,...

А ось коли розглядають загальнотеоретичні питання про функції, то функцію, обернену до , позначають як .

Може, саме тут витоки тих непорозумінь, із якими доводиться зустрічатися на вступних іспитах в університет при розв’язуванні абітурієнтами завдань, подібних до нашої другої вправи?

Верхній індекс “–1”, який має буква “ ”, не можна сприймати як показник степеня, тобто не означає те саме, що (іншими словами, це не є у степені мінус один). Цей індекс — позначка оберненої функції для тієї, яка записується за допомогою букви “ ”, але без верхнього індексу “–1”. Звернемо увагу на таке: , але для функції оберненою до неї є вона сама (); так само , але для функції оберненою до неї є вона сама (). Упевніться в цьому!

У цих прикладах “–1” — показник степеня, а не позначка оберненої функції. А ось коли ми бачимо на клавіші калькулятора напис “ ”, то сприймати його повинні як позначку для функції , а не “ ”, бо тут “–1” навпаки, — позначка оберненої функції, а не показник степеня.

Як же розібратися, в яких випадках “–1” — це позначка оберненої функції, а коли — знак степеня? А як, наприклад, у побутовій мові ми дізнаємося, про яку косу йдеться: про ту, якою працює косар, чи про ту, що з волосся? Зрозуміло, що з контексту, тобто з того оточення, в якому знаходиться це слово. Приблизно так само можна зрозуміти, який смисл несе верхній індекс “–1”у тому чи іншому випадку.

А про який контекст можна говорити у випадку з позначкою на клавіші калькулятора? Таким контекстом є інші клавіші. Можна зрозуміти, що можна обчислити, послідовно використовуючи клавіші “ ” і “ ”, а для обчислення подібного шляху немає. Це свідчить на користь того, що клавіша “ ” призначається для обчислення функції . Перевірити гіпотезу щодо призначення клавіші “ ”, можна й іншим шляхом: подивитися, як вона діє на аргумент, який дорівнює нулю. Дійсно, , а ось функція не існує при . Перевірка однозначно відкидає гіпотезу, що клавіша “ ” означає “ ”.

Уміння висувати й перевіряти гіпотези дуже важливе для всіх людей, але особливо для тих, хто за характером своєї роботи постійно стикається з новими завданнями, алгоритми виконання яких невідомі. Це вміння корисне і при навчанні фізики та математики. Наприклад, щоб пригадати забуту формулу, іноді достатньо критично розглянути можливі варіанти.

Припустимо Ви забули, як правильно розписати через подвійний кут: чи . Якщо Вам відомо, що , то другий варіант Ви миттєво відкинете. Словом, не поспішайте у подібних випадках звертатися до довідника, а подумайте, чи не можна використати ті знання й уміння, які є у Вас в наявності.

Спробуйте, не звертаючись до інших посібників, знайти обернені функції до таких: ; ; . Чи змогли Ви усно це зробити і отримати: ; ; ?

3. Як треба змінити температуру Т газу в ізобарному процесі , щоб концентрація його молекул n збільшилася у 3 рази? Примітка: .

Після розбору першої вправи повинно бути зрозумілим, що у даному випадку і пов’язані обернено пропорційною залежністю. Дійсно, — стала, бо процес ізобарний (процес, що проходить при незмінному тиску: ізо — частина слова, яка підкреслює незмінність, сталість; а друга частина слова має спільне походження зі словом бар ометр, яке позначає відомий усім прилад для вимірювання атмосферного тиску), — стала Больцмана. Таким чином, для того щоб рівність виконувалася, потрібно, щоб сталим був добуток величин і (). Це і означає, що при ізобарному процесі концентрація молекул обернено пропорційна абсолютній (або термодинамічній) температурі . Отже, щоб концентрація молекул при сталому тиску збільшилася у 3 рази, температуру треба зменшити у стільки ж разів (тобто в 3).

Формально розв’язок можна записати так:

Це і буде означати, що температуру треба зменшити в 3 рази.

Зазначимо, що “ліричний” відступ стосовно того, як запам’ятати слово ізобарний, зроблено принагідно (до речі), а отримати правильну відповідь можна було і без знання про походження (про етимологію) цього слова, бо безпосередньо в умові вказано, що воно означає . Щоправда, треба було знати, що ховається за позначкою “ ”.

До речі, як пов’язана абсолютна (або термодинамічна) температура з температурою за шкалою Цельсія? Чому ця температура так називається?

4. Тіло, що кинули з початковою швидкістю під кутом до горизонту , піднялося на висоту . На яку висоту підніметься це тіло, якщо кут буде дорівнювати , а початкова швидкість не зміниться? Примітка: .

Деякі абітурієнти починають обчислювати початкову швидкість , користуючись відомими , і . При цьому вони запитують, яке значення брати для : 9,8 м/с² чи 10 м/с²? Безумовно, можна обчислити початкову швидкість, але чи необхідно це робити? За умовою, ~ , бо . Відповідно, .

При виконанні цієї вправи у помітної частини абітурієнтів виникають проблеми з обчисленням синусів. Що робити, якщо Ви забули числові значення тригонометричних функцій для , або ?

Будемо сподіватися, що Ви не забули теорему Піфагора… Якщо взяти рівносторонній трикутник і провести з однієї вершини висоту, то вона буде одночасно і бісектрисою, і медіаною (рис. 8). А значить, розіб’є вихідний рівносторонній трикутник на два однакових прямокутних трикутника з гострими кутами, що дорівнюватимуть і , причому катет, який протилежний до кута в , буде вдвічі менший за гіпотенузу.

Нехай сторона рівностороннього трикутника (і, відповідно, гіпотенуза прямокутного трикутника) має одиничну довжину (в умовних одиницях). Тоді катет прямокутного трикутника, протилежний до кута в , матиме довжину (ум. од.). А катет, який співпадає з проведеною нами висотою вихідного рівностороннього трикутника, обчислюватиметься за теоремою Піфагора: . Синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Отже, , . А косинус є відношенням прилеглого катета до гіпотенузи. Відповідно, , .

Що ж до кута в , то його тригонометричні функції легко встановити з рис. 9. Зробіть це самостійно!

Повертаючись до нашої вправи, маємо (м).

Наприкінці наведемо мнемонічне правило (тобто правило для запам’ятовування), яке на багатьох справляє враження:

Але, використовуючи мнемонічні правила, треба усвідомлювати, що вони можуть несподівано підвести, причому помилку буде важко помітити. Були випадки, коли учні та студенти, які покладалися на механічну пам’ять і мнемонічні правила, відновлюючи наведену таблицю, замість того, щоб під знаками квадратних коренів писати 0, 1, 2, …, писали 1, 2, 3, …

Чи не краще встановлювати логічні зв’язки між окремими фактами і покладатися потім на логічну пам’ять, пам’ять дорослої культурної людини?

Запишіть фізичною формулою фразу: “Енергія електричного поля конденсатора дорівнює половині добутку його ємності та квадрата напруги на ньому”. Наведіть список використаних позначень.

Як відомо, формула виражає існуючі зв’язки між величинами, символи яких до неї входять. Так, в першому завданні ми розглядали залежність сил гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок від їхніх мас , та відстані між ними і, відповідно, користувалися формулою . Фізичні символи та математичні знаки у формулі (від лат. formula — образ, вигляд) дозволяють у дуже компактній формі відобразити зв’язки між величинами.

Для того, щоб переписати речення у вигляді фізичної формули, треба виділити в ньому назви фізичних величин та позначити знайдені величини відповідними фізичними символами. Так, у завданні, що розглядається, зустрічаються три фізичні величини: енергія електричного поля конденсатора, ємність цього конденсатора та електрична напруга на ньому. Зазвичай у фізиці їх позначають та відповідно. Далі треба перекласти математичні операції, які зустрічаються в реченні, на мову математичних знаків. Перша частина речення “енергія електричного поля конденсатора дорівнює ”у символах буде виглядати так: . Квадрат напруги позначають (про це ми вже згадували у першому завданні). Добуток ємності та квадрата напруги скорочено записуємо як . Фраза “ половина добутку ємності та квадрата напруги на ньому” означає, що вираз треба поділити на два або помножити на одну другу. Отже, половина добутку ємності та квадрата напруги позначаєтьсяяк , або як . Повернемося до початку фрази та отримаємо шукану фізичну формулу: .

У цьому типі завдань може зустрічатися також операція ділення. Тоді буде сказано про відношення однієї величини до іншої. У математиці операцію ділення позначають символами “:” або “—”. У фізичних формулах використовується тільки другий символ. Наприклад, відношення енергії конденсатора до напруги на його обкладинках позначається як . Якщо ж буде сказано, що фізична величина подвоєна, то це означає, що її треба помножити на 2. Наприклад, подвоєна ємність конденсатора позначається як .

6. Запишіть фразою (на зразок такої, як у попередньому завданні) фізичну формулу: , де — період гармонічних коливань математичного маятника, — його довжина, — прискорення вільного падіння.

Для успішного виконання завдання цього типу треба знати математичні символи та вміти їх словесно формулювати. Правильною відповіддю може бути така: „Період коливань математичного маятника під час гармонічних коливань дорівнює добутку подвоєного числа та кореня квадратного з відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння”.

7. Переведіть у СІ, записавши відповідь у стандартному вигляді (як , де , ):

Примітка. Одиниці СІ, в яких потрібно записати відповідь, містяться серед таких: Вт, А, Па.

Досить часто при розв’язуванні розрахункових задач з фізики доводиться числові значення фізичних величин переводити у Міжнародну систему одиниць (СІ). Для правильного виконання цієї дії треба знати позначення одиниць фізичних величин, які прийняті в СІ. Наприклад, знати що Н — позначення для одиниці сили, Дж — енергії або механічної роботи, Па — тиску, Вт — потужності, Кл — електричного заряду тощо.

Необхідно пам’ятати основні фізичні формули і вміти швидко усно виводити з них інші. До формул, які треба пам’ятати, в першу чергу відносяться “формули-означення” фізичних величин, наприклад: (, відповідно: ); (, відповідно: ); (, відповідно: ); (, відповідно: ).

Безумовно, треба знати формулу для другого закону Ньютона, яка дозволяє виразити одиницю вимірювання сили через основні одиниці СІ: , бо (). До речі, СІ має сім основних одиниць (кг, м, с, А, моль, К, кд), з яких тільки перші чотири використовувались нами у вправах розглядуваного типу. Зазначимо також, що наведені вище формули записані в такому вигляді, який дозволяє правильно знайти зв’язок між одиницями фізичних величин, але вони не претендують на те, що без змін можуть використовуватися для інших цілей. Наприклад, наведена формула для сили електричного струму може використовуватися тільки у тому випадку, якщо ми маємо справу з постійним струмом; робота навіть сталої сили є скалярним добутком двох векторів: сили і переміщення тощо. Але подібні обмеження на використання формул не впливають на одиниці вимірювання.

Потрібне також знання деяких префіксів, що використовуються для утворення десяткових кратних і дольних одиниць. У наших вправах ми обмежувалися префіксами, що означають такі множники: (назва префікса — “кіло-”; позначення — к), (“мілі-”; м), (“санти-”; с), (“мега-”; М), (“мікро-”; мк).

Але треба бути уважним при переведенні в СІ одиниць площі та об’єму. Порівняйте: , але , ; , але , . Справа в тому, що, наприклад, треба сприймати як , а не як , тобто префікс “кіло-” відноситься не до квадратного метра , а до звичайного (лінійного) метра (м), який є одиницею вимірювання довжини. А показник степеня “2” використовується замість скорочення “кв.”; тобто іноді пишуть “кв.км”, а іноді — “ ”, що читається однаково: “квадратний кілометр”. Відповідно, .

При переведенні в СІ одиниць часу також існують певні проблеми. Використовуються префікси “мілі-” та “мікро-” для утворення одиниць мілісекунда (мс) та мікросекунда (мкс), але префікси “санти-”, “кіло-”, “мега-” з секундою не вживаються.

Здавалося б, що складного у розглядуваній вправі? Треба лише виконати ланцюжок примітивних операцій:

Усього п’ять маленьких кроків до успіху! Але навіть випадкова помилка на одному з цих кроків призведе до невірної відповіді. І якщо виконати відповідні операції механічно, не задумуючись, то таку помилку важко помітити.

Що ж робити? Ми пропонуємо такий план. Спочатку треба з’ясувати, яка одиниця вимірювання буде в остаточній відповіді (Вт, А, Па). У даному випадку буде паскаль, бо , що відрізняється від тільки числовим коефіцієнтом.

Цей коефіцієнт буде більше або менше одиниці? Таке запитання дуже корисно ставити перед собою, бо воно надає можливості підключити уяву. Дійсно, уявіть собі квадрат зі стороною 1 м, який поділений на однакові маленькі квадратики зі сторонами 1 см. Скільки маленьких квадратиків? Зрозуміло, що , тобто . А якщо на кожний маленький квадратик (площа якого ) припадає сила 1 Н, то скільки буде припадати на великий (площа якого )? Стільки ж ньютонів скільки маленьких квадратиків! Тобто . Таким чином, . Залишилося лише 0,12 помножити на і записати так, щоб відповідь мала стандартний вигляд. Зрозуміло, що в нашому випадку , бо . Це означає, що множити треба так: . Остаточно будемо мати .

8. Виберіть до виразу одну з наступних одиниць: м, кг, с, Ом, А, Гц, Н, Дж, Па, Гн, Ф, Тл, Вб, Кл, К, В, Вт.

Включення завдань такого типу до складу вступних іспитів на фізичний факультет пов’язано з тим, що при розв’язуванні задач виникає необхідність перевірки фізичної формули на розмірність. У школі, частіше за все, навчають користуватися певним алгоритмом: розписати всі похідні одиниці через основні, потім спростити отриманий вираз і замінити його однією одиницею СІ. Формально цей шлях правильний, але довгий і такий, що збільшує ймовірність помилки при виконанні математичних операцій. А її потім буває ой як нелегко знайти!

Існує інший спосіб розв’язування таких завдань. Його ідею можна описати наступним чином: певні комбінації одиниць (як основних, так і похідних) замінюються однією за допомогою фізичної формули. Але все-таки зручніше це пояснити на прикладі.

Користуючись знайомою формулою, що виражає закон Ома для ділянки електричного кола (), отримаємо, що (квадратні дужки означають, що ми маємо справу тільки з одиницями фізичних величин без урахування числових коефіцієнтів). Після цього скорочуємо в чисельнику і знаменнику, отримуючи вираз . Далі використовуємо означення тиску як відношення сили до площі (), і тоді . Скорочуючи в чисельнику і знаменнику, отримуємо . Вказана одиниця вимірювання є у наведеному в умові списку.

Отже, для успішного виконання цього завдання необхідно знати основні фізичні формули, одиниці фізичн