Применение производных к исследованию функций и построению графиков необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

1.Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

2.Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке, f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

3. Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

4. Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

5. Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

6. Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

f '(x)>0 при x<x0 и f '(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума;

при x<x0 и f '(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1.Найти область определения функции f(x).

2.Найти первую производную функции f '(x).

3.Определить критические точки, для этого:

a. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4.Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5.Вычислить значение функции в точках экстремума.

Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

1. . Область определения функции D(y)=R.

Найдем производную заданной функции

Определим критические точки . Производная не существует при х2= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.