Пусть дана функция . Функция называется первообразной для подынтегральной функции или интегралом от , если является производной для функции , т.е. и . Например, для функции первообразной будет функция , т.к. .
Если является первообразной для , то и , где - произвольная константа, также будет являться первообразной для , поскольку производная от константы равна нулю. Совокупность всех первообразных функций для функции называется неопределенным интегралом и обозначается . Таким образом:
. (1)
Из определения неопределенного интеграла вытекают формулы:
(2)
(3)
Формула (3) может быть использована для проверки правильности интегрирования.
Геометрически неопределенный интеграл можно интерпретировать как бесконечное множество кривых , сдвинутых относительно друг друга на произвольную константу вдоль оси .
2. Формулы интегрирования и таблица основных интегралов.
, а – константа.
1. .
2. , .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
Вычисление любого сложного интеграла, выражающегося через элементарные функции путем преобразований (если это необходимо), сводится к вычислению интегралов, представленных в таблице. Если интеграл табличный, то интегрирование осуществляется сразу.
|
|
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Разбиваем интеграл на три интеграла и интегрируем:
Дифференцированием первообразной проверим правильность интегрирования:
Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией, т.е. интегрирование проведено правильно.