Второй замечательный предел

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).

Примеры.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

1. .

2. .

Производная.

Пусть функция определена на некотором промежутке X. Возьмём x из этого промежутка дадим значению x приращение , тогда функция получит приращение

Определение - производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует.

Другие обозначения:

Нахождение производной функции называется дифференцирование. Функция дифференцируемая во всех точках на промежутке точек называется дифференцируемая на данном интервале.

1). основные правила дифференцирования: