2015-10-22
436
Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение
.
Вектор 
называется нормальным вектором плоскости. Если даны две плоскости с нормальными векторами 
и 
, то косинус угла между этими плоскостями определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)
.
Если даны три точки 
, 
и 
, то уравнение плоскости, проходящей через три точки находится по формуле:
.
Задание 1. По координатам вершины пирамиды 
найти:
1. длину ребер 
и 
;
2. угол между ребрами 
и ;
3. площадь грани 
;
4. объем пирамиды 
;
5. уравнение прямых ; ;
6. уравнения плоскостей и 
;
7. угол между плоскостями и .
Пример. Выполнить задание 1, если 
, 
, 
, 
.
1) Если заданы точки 
, 
, и 
то координаты векторов 
, 
и их длины 
, 
равны:
а) 
,
.
б) 
,
.
2) Угол между ребрами и находим как угол между векторами 
и 
. Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение 
находим через декартовы координаты:
.
Тогда
.
Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе)
3) 
‑ площадь треугольника, построенного на векторах и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение
,
, 
, 
.
Тогда
.
4) Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды:
.
Найдем координаты вектора 
:
Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты
.
Отсюда
.
5) Найдем канонические уравнение прямых и . За направляющие вектора примем вектора и 
. За точку лежащую на этих векторах примем точку
прямая : 
;
прямая : 
.
6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
и 
находится по формуле:
.
Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .
или 
.
Разложив определить по первой строке, получим
.
Итак, уравнение плоскости найдено 
. Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор 
.
Аналогично составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .
или 
.
Разложив определить по первой строке, получим
.
Итак, уравнение плоскости имеет вид 
. Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор 
.
7) Угол 
, образованный двумя плоскостями и находится по формуле
, где 
и 
‑ нормали плоскостей и .
Подставляя их значения из пункта 6) находим величину угла (расчеты выполняем на инженерном калькуляторе)
Задание №2
а) Найти решение системы с помощью правила Крамера;
б) Записать систему в матричной форме и решить средствами матричного исчисления.
Пример.
а) Составим и вычислим главный и вспомогательные определители системы:
,
,
,
.
Находим по правилу Крамера решение системы
.
б) Составим матрицу коэффициентов системы и столбец правых частей
,
и найдем обратную матрицу по формуле:
,
где 
и 
‑ соответственно алгебраические дополнения и миноры, связанные между собой соотношением 
, а 
- определитель матрицы 
, вычисленный в пункте а). Найдем миноры:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Составим теперь обратную матрицу
и найдем столбец неизвестных по формуле 
:
.
Отсюда 
.
Задание №3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления
При вычислении предела дробно-рациональной функции при 
числитель и знаменатель дроби — величины бесконечно большие, т.е. получаем выражение 
которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень 
.
Пример 1. 
.
Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на 
:
.
(при слагаемые 
— величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).
В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при 
числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю, т.е. имеем неопределенность 
, надо разделить их на 
и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .
Пример 2. 
.
Данный предел имеет неопределенность вида , так как числитель и знаменатель при 
стремятся к 0. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе рациональной дроби на линейные множители по формуле 
, где 
и 
— корни квадратного трёхчлена
.
Сократив рациональную дробь на 
, получим:
.
При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел
и его следствия:
.
Пример 3. 
.
Преобразовав разность косинусов в произведение, получим
.
Если в пределе встречается неопределенность 
, то используется второй замечательный предел 
или 
.
Пример 4. 
.
Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём
.
Пример 5. 
.
Выполнив преобразования и применив формулу , найдём
.
Задание №4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип.
Функция 
называется непрерывной в точке 
, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Это равенство означает выполнение трех условий:
1) функция 
определена в точке х0 и ее окрестности;
2) функция имеет предел при 
;
3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке
Если в точке 
не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. 
и 
.
При этом:
1) если 
, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;
2) если 
, то х0 называется точкой конечного разрыва, а величину 
называют скачком функции.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
Пример.
Дана функция 
. Найти точки разрыва, определить их тип.
Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки 
. Очевидно, что
.
Следовательно 
, 
. Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 
.
Задание №5. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила дифференцирования.
При выполнении данного задания необходимо знать правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций), а также изучить таблицу производных.
Пример.
1) 
.
.
2) 
.
.
3) 
Найти 
.
Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: 
.
; 
.
Тогда 
.
Задание №6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции , проведенных в данной точке 
.
Приведем уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке
,
и уравнение нормали к этой касательной
.
Пример.
Для функции 
в точке с абсциссой 
составить уравнение касательной и уравнение нормали.
1) Найдем значение функции 
.
2) Найдем значение 
:
, 
.
3) Составим уравнения касательной и нормали:
– искомое уравнение касательной;
– искомое уравнение нормали.
Задание №7. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя.
Напомним правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 
и 
:
Пусть и 
– функции, имеющие производные в некоторой окрестности точки 
, за исключением, быть может, самой 
точки . Пусть при стремлении обе эти функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Тогда, если существует предел отношения их производных 
при , то существует и предел отношения самих функций 
при , причем оба эти пределы равны:
.
Замечания:
1) Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, если и 
или 
при 
или при 
.
2) Если 
опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.
Примеры:
1) 
.
2) 
.
3) 
.
Задание №8. Построить график функции , используя общую схему исследования функций.
Общая схема исследования функции и построения графика.
1. Найти область определения функции.
2. Определить тип функции (четность, нечетность).
3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
4. Найти асимптоты графика функции:
а) вертикальные; б) невертикальные (наклонные).
5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.
7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования.
Пример. Построить график функции 
.
1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме 
(в этом случае знаменатель равен нулю).
2. Для определения типа функции найдем значение
.
Следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.
3. Так как уравнение 
не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью ОХ, но пересекает ось ОУ в точке 
.
Определим интервалы знакопостоянства функции:
.
.
4. Найдем асимптоты графика функции.
а) Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва :
, 
.
Следовательно прямая является вертикальной асимптотой.
б). Определим существование наклонной асимптоты:
,
.
Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту 
при .
5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:
.
Приравняем 
. Решая уравнение 
, находим корни производной 
и 
.
Исследуем знак производной. Для чего решим неравенство 
Находим знаки 
на промежутках, учитывая корни и квадратного трехчлена 
:
, 
; 
, 
;
, 
; 
; 
.
Следовательно, функция возрастает на промежутках
и 
,
и убывает на промежутках
и 
.
По изменению знака получаем точки локальных экстремумов:
, 
,
, 
.
6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:
.
Так как 
в нуль не обращается, то точек перегиба у функции нет.
Исследуем знак второй производной, решая неравенство 
:
при 
и 
при 
.
Следовательно, на интервале 
график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале 
– выпуклостью вниз (вогнутый).
По результатам исследования строим график функции .
Рис.1 Построение графика функции .
Задание №9. Найти неопределенные интегралы.
Пример. Найти неопределенные интегралы.
а) 
.
Применим подстановку 
. Тогда 
, откуда 
.
Таким образом, 
б) 
.
Применим формулу интегрирования по частям 
. Пусть
, 
, тогда 
, 
.
Тогда
.
К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям. Пусть
, 
, 
, 
Таким образом,
.
в) 
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой
.
Подынтегральную функцию разложим на дроби
,
откуда
.
Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:
.
Приравнивая соответствующие коэффициенты при 
в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:
Таким образом,
,
.
Вычислим отдельно интеграл 
. Используя равенства
,
получаем
.
Отсюда окончательно вычисляем интеграл
.
г) 
.
Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому выполним подстановку 
, 
, тогда
.
