Характеристика позиционной системы счисления

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

x = a_nPⁿ + a_{n -1} P^{n -1} +... + a ₁ P ¹ + a ₀ P ⁰ + a _-1 P ^-1 +... + a_-mP^-m

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижениестаршейцифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
• восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целойстепенью числа2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);
• восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

(Таблица перевода чисел).

Разрядность чисел

Попробуем определить сколько цифр потребуется в различных системах счисления для того, чтобы представить какой либо диапазон чисел. Найти эту величину можно с помощью формулы количества информации в случае равномерного распределения случайных событий:

C=log_pN (1.5.1)

Здесь С -количество цифр (разрядов) необходимых для представления N чисел начиная с 0 в системе счисления с заданным основанием p. Причем, после получения С, необходимо провести его целочисленное округление вверх.

Например: дан диапазон чисел (0..1000). В диапазоне чисел от 0 до 1000 находится 1001 целое число. Таким образом требуется:

В двоичной системе счисления С=log₂1001=9,9672 => С=10

В восьмеричной системе счисления С=log₈1001=3,3224 => С=4

В десятеричной системе счисления С=log₁₀1001=3,0004 => С=4

В шестнадцатеричной системе счисления С=log₁₆1001=2,4918 => С=3

В результате проверки оказывается, что

(1001)₁₀=(1111101001)₂ – 10 двоичных знаков

(1001)₁₀=(1751)₈ – 4 восьмеричных знака

(1001)₁₀=(3E9)₁₆ – 3 шестнадцатеричных знака