Представление числовой информации с помощью систем счисления

1 2 3 4 5

Кодирование числовой информации

§1. Представление числовой информации с помощью систем счисления 2

Знать 3

Задания 3

Перевод чисел в позиционных системах счисления 4

П.1 Перевод чисел из десятичной системы счисления 4

П.2 Перевод чисел в десятичную систему счисления 6

Задания 7

Арифметические действия в позиционных системах счисления 8

П.1. Сложение 8

П.2. Вычитание 9

П.3. Умножение 9

Задания 10

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит системы счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 используются латинские буквы С, D и М.

В римской системе счисления количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римских числах X I(11) и I X (9), цифра X в первом случае стоит на второй позиции, а во втором – на первой, но в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10.

Чтобы записать число в римской системе счисления, необходимо разложить его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII =10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (два десятка, пяток, три единицы).

При записи чисел в римской системе счисления применяется правило: каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него, в остальных случаях знаки складываются. Например, римское число IX обозначает 9 (-1 + 10), а XI обозначает 11 (10 + 1). Число 99 имеет следующее представление в римской системе счисления: XCIX = -10 + 100 - 1 + 10.

Позиционные системы счисления. Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Например, в числах 1 5 и 51, цифра 5 в первом случае стоит на первой позиции и обозначает пять единиц, а во втором – пять десятков. (Цифра одна – значение разное)

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды числа возрастают справа налево, от младших разрядов к старшим, причем значения одинаковых цифр, стоящих в соседних разрядах числа, различаются на величину основания.

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная. Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Алфавит двоичной системы - две цифры {0, 1}. Кроме того в связи с увеличением объема информации обрабатываемых компьютером имеет место восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления.

Наименование системы счисления	Основание системы	Алфавит системы
Десятичная		0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Двоичная		0 1
Восьмеричная		0 1 2 3 4 5 6 7 8
Шестнадцатеричная		0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F